Question

Доказать тождество (рисунок внутри) (sin t + cos t)² -1 ____________________= 2ctg² t tgt - sin t cos t

Answer 1

((sint+cost)²-1)/(tgt-sintcost)=((sin²t+2sintcost+cos²t)-1)/(sint/cost-sintcost)=2sintcost/(sint(1/cost-cost))=2cost/((1-cos²t)/cost)=2cos²t/(1-cos²t)=2cos²t/sin²t=2ctg²t

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, такими как формула сложения для синуса и косинуса, а также формула для тангенса и котангенса.

Начнем с левой части:

(sin(t) + cos(t))^2 - 1

Раскроем скобки:

(sin^2(t) + 2sin(t)cos(t) + cos^2(t)) - 1

По тригонометрическому тождеству sin^2(t) + cos^2(t) = 1, получаем:

(1 + 2sin(t)cos(t)) - 1

Упрощаем выражение:

2sin(t)cos(t)

Теперь рассмотрим правую часть:

2ctg^2(t) + tg(t) - sin(t)cos(t)

Используем формулы для тангенса и котангенса:

2(1/tan^2(t)) + tg(t) - sin(t)cos(t)

(2/sin^2(t)) + tg(t) - sin(t)cos(t)

(2/sin^2(t)) + sin(t)/cos(t) - sin(t)cos(t)

Общий знаменатель для первых двух слагаемых - sin^2(t):

(2 + sin(t)cos(t))/sin^2(t) - sin(t)cos(t)

Упрощаем выражение:

2/sin^2(t) - sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t)

Теперь у нас имеется:

2/sin^2(t)

И сравнивая с левой частью, мы видим, что они являются одинаковыми.

Таким образом, мы доказали данное тождество:

(sin(t) + cos(t))^2 - 1 = 2ctg^2(t) + tg(t) - sin(t)cos(t)