Question

5.В цехе n моторов, включающихся и выключающихся независимо друг от друга. Вероятность того, что в данный момент мотор окажется выключенным, для всех моторов одинакова и равна 0,1. Определить: а) вероятность того, что в данный момент окажется выключеннымхотя бы один мотор (n=10); б) при каком количестве (n) моторов в цехе вероятность того, что в данный момент окажется выключеннымхотя бы один мотор, будет не более 0,5.

Answer 1

5 моторов правильный ответ доказано мною

Answer 2

а) Вероятность того, что в данный момент окажется выключенным хотя бы один мотор (n=10), можно рассчитать как вероятность противоположного события - то есть вероятность того, что все моторы будут включены.

Вероятность того, что один мотор будет включен, равна 1 - 0.1 = 0.9. Так как моторы включаются и выключаются независимо друг от друга, вероятность того, что все моторы будут включены, равна произведению вероятностей для каждого мотора. В данном случае, так как у нас 10 моторов, вероятность того, что все моторы будут включены, равна 0.9^10 ≈ 0.3487.

Тогда вероятность того, что в данный момент окажется выключенным хотя бы один мотор, будет равна 1 - 0.3487 ≈ 0.6513.

б) Чтобы вероятность того, что в данный момент окажется выключенным хотя бы один мотор, была не более 0.5, нужно найти такое количество моторов (n), при котором вероятность того, что все моторы будут включены, будет больше 0.5.

Пусть P - вероятность того, что все моторы будут включены. Тогда P = 0.9^n.

Нам нужно найти такое n, при котором P > 0.5: 0.9^n > 0.5.

Возьмем логарифм от обеих частей неравенства: log(0.9^n) > log(0.5).

Используя свойство логарифма log(a^b) = b*log(a), получим: n*log(0.9) > log(0.5).

Делим обе части неравенства на log(0.9): n > log(0.5) / log(0.9).

Вычислив значение правой части неравенства, получим: n > 5.7588.

Таким образом, при количестве моторов n > 5.7588 вероятность того, что в данный момент окажется выключенным хотя бы один мотор, будет не более 0.5. Возьмем ближайшее большее целое число, получим, что при n = 6 вероятность будет не более 0.5.