Question

Решить тригонометрическое уравнения и неравенства: 1) 8sin^2x-7sinx+3=0 2) cosx+cos2x+cos3x=0 3) 2cos6x<1

Answer 1

1)sinx=a
8a²-7a+3=0
D=49-96=-47<0решения нет
2)2cos2xcosx+cos2x=0
cos2x(2cosx+1)=0
cos2x=0⇒2x=π/2+πn⇒x=π/4+πn/2
cosx=-1/2⇒x=+-2π/3+2πn
3)cos6x<1/2
π/3+2πn<6x<5π/3+2πn
π/18+πn/3<x<5π/18+πn/3
x∈(π/18+πn;5π/18+πn/3)

Answer 2

1) Решение уравнения 8sin^2x - 7sinx + 3 = 0:

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно sinx:

8(sin^2x - 7/8sinx) + 3 = 0 8sinx(sinx - 7/8) + 3 = 0 8sinx(sin^2x - (7/8)sinx + 3/8) = 0 8sinx((sinx - 1/2)^2 + 1/8) = 0

Из последнего уравнения можно получить две ситуации:

1) sinx = 0: Из этого следует, что x = 0 или x = π.

2) (sinx - 1/2)^2 + 1/8 = 0: Такое квадратное уравнение не имеет действительных решений, так как сумма двух положительных чисел не может быть равна нулю.

Таким образом, решениями уравнения 8sin^2x - 7sinx + 3 = 0 являются x = 0 и x = π.

2) Решение уравнения cosx + cos2x + cos3x = 0:

Раскроем косинусы множественных углов:

cosx + cos2x + cos3x = 0 2cos^2x - 1 + 2cos^2x - 1 + 4cos^3x - 3cosx = 0 4cos^3x + 4cos^2x - 4cosx - 2 = 0 2(2cos^3x + 2cos^2x - 2cosx - 1) = 0

Из этого уравнения можно сделать следующие выводы:

1) 2cos^3x + 2cos^2x - 2cosx - 1 = 0: Решение этого уравнения осуществимо численными методами. Данное уравнение не имеет аналитического решения.

Таким образом, решение уравнения cosx + cos2x + cos3x = 0 можно получить только численно.

3) Решение неравенства 2cos6x < 1:

Решим неравенство используя неравенство косинуса:

2cos6x < 1 cos6x < 1/2

Так как косинус имеет период 2π, то можно рассмотреть случаи, когда 6x принимает значения на интервале [0, 2π].

1) 6x = π/3: cos(π/3) = 1/2, не удовлетворяет неравенству.

2) 6x = 5π/3: cos(5π/3) = -1/2, удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решением неравенства 2cos6x < 1 является множество значений x, таких что 6x = 5π/3, то есть x = 5π/18 + 2kπ/6, где k - целое число.