Question

Расстояния от середины высоты правильной треугольной пирамиды до боковой грани и до бокового ребра равны 4 и sqrt(56) соответственно. Найдите объём пирамиды.

Answer 1

Пусть имеем правильную пирамиду АВСS,
Проведём осевое сечение через ребро ВS.
Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS.
Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ.
Это будут заданные расстояния МЕ = 4 и МК = √56.

По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h.
Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.

sinДSO = 4/x,  sinВSO = √56/х.
Из точки О опустим перпендикуляр ОК1 на SВ, его длина равна 2МК = 2√56.
Из треугольника ОК1В находим ОВ = ОК1/sinВSO или (2/3)h = 2√56/(√56/x). Отсюда h = 3x, ОД = х, ОВ = 2х.
Из треугольника ДSO по Пифагору находим ДS = √(ОД²+SO²) = √(х²+(2х)²) = х√5.
А так как sinДSO = 4/х = ДО/ДS = х/(х√5), то есть 4/х =1/√5.
Отсюда х = 4√5, высота пирамиды Н = 2х = 8√5.
Высота h = ВД = 3х =3*4√5 = 12√5.
Теперь находим сторону основания:
а = h/cos30° = 12√5/(√3/2) = 24√5/√3 = 8√15.
Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 =
= 64*15√3/4 = 16*15√3 = 240√3.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*240√3*8√5 = 640√15 ≈  2478,709 куб.ед.

Answer 2

Пусть а – длина ребра пирамиды, а h – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то можно применить теорему Пифагора для треугольника, образованного серединой высоты, половиной длины бокового ребра и расстоянием от середины высоты до боковой грани.

Итак, по теореме Пифагора:

(а/2)^2 + h^2 = (sqrt(56))^2 = 56.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

а^2/4 + h^2 = 56.

Также дано, что расстояние от середины высоты до боковой грани равно 4:

h = 4.

Подставим это значение в уравнение:

а^2/4 + 4^2 = 56.

Упростим уравнение:

а^2/4 + 16 = 56.

а^2/4 = 56 - 16 = 40.

а^2 = 4 * 40 = 160.

а = √160 = 4√10.

Теперь для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой:

V = (1/3) * S * h,

где S – площадь основания пирамиды, а h – высота пирамиды.

Площадь правильного треугольника (основания пирамиды) можно найти по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4,

где a – длина стороны треугольника.

Подставим известные значения:

S = ( (4√10)^2 * √3 ) / 4 = (16 * 10 * √3) / 4 = 40√3.

Теперь найдем объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 40√3 * 4 = (40/3) * 4√3 ≈ 53.33.

Таким образом, объем пирамиды примерно равен 53.33.