Question

Осевое сечение конуса равнобедренный треугольник, угол при основании которого 30 градусов, а основание 8 дм. Найдите объем конуса

Answer 1

Проведем в треугольнике высоту (она будет совпадать с осью конуса).
Высота в равнобедренном треугольнике - это и высота, и биссектриса, и медиана в одном лице. Следовательно половина основания треугольника - это радиус основания конуса = 4 дм. Найдем высоту. tg30*4 = 4корня(3)/3 дм
V=1/3 S * H
S = ПR^2 = П*4*4=16П дм^2
H=4корня(3)/3
V=1/3*16П * 4корня(3)/3

Answer 2

Для начала, осевое сечение конуса, образованное его основанием и вершиной, является равнобедренным треугольником. В случае конуса этот треугольник будет равнобедренным с углом при основании, равным углу наклона боковой стороны конуса к его основанию.

Известно, что угол при основании равен 30 градусов. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный основанием и двумя равными боковыми сторонами конуса. Угол при вершине этого треугольника (или угол между боковой стороной и основанием конуса) равен удвоенному углу при основании, то есть 60 градусов.

Теперь, чтобы найти высоту конуса, можно воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Мы знаем, что биссектриса угла при вершине (в данном случае это высота конуса) делит основание треугольника на две части пропорционально друг другу. Так как у нас есть размер основания конуса (8 дм) и угол при вершине (60 градусов), мы можем найти высоту.

Для этого можно воспользоваться тригонометрическими функциями. В равнобедренном треугольнике, в котором угол при вершине равен 60 градусам, каждый угол основания будет по 60 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, треугольник разбивается на два равнобедренных треугольника со сторонами, равными 4 дм, 4 дм и неизвестной высотой.

С помощью тригонометрии можно найти высоту такого треугольника:

\[ \text{высота} = \text{сторона основания} \times \sin(60^\circ) = 4 \, \text{дм} \times \sin(60^\circ) \]

\(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\[ \text{высота} = 4 \, \text{дм} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{дм} \]

Теперь, когда у нас есть высота конуса и его радиус (половина основания), мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \]

Где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса.

Радиус конуса \(r = \frac{8 \, \text{дм}}{2} = 4 \, \text{дм}\)

Теперь вычислим объем:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times (4 \, \text{дм})^2 \times 2\sqrt{3} \, \text{дм} \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \, \text{дм}^2 \times 2\sqrt{3} \, \text{дм} \]

\[ V = \frac{32\sqrt{3}}{3} \pi \, \text{дм}^3 \]

Таким образом, объем этого конуса равен \(\frac{32\sqrt{3}}{3} \pi \, \text{дм}^3\).