Question

Сколько корней имеет уравнение sin^2x+sinx\cosx=0на промежутке [0;]

Answer 1

Решение:
Преобразуем уравнение:
$sin^2x=-\frac{sinx}{cosx} \\ sinx=-\frac{1}{cosx} \\ sinxcosx=-1 \\ \frac{1}{2}sin2x=-1 \\ sin2x=-2$
Противоречие: синус не может быть больше 1 и меньше -1, даже при двойном угле, следовательно, корней уравнение не имеет.

Answer 2

Уравнение \( \sin^2x + \sin x \cos x = 0 \) содержит смешанные члены, а его корни можно найти, преобразовав его к более удобному виду.

Начнем с того, чтобы выразить \( \sin^2x \) через тригонометрические тождества:

\[ \sin^2x = 1 - \cos^2x \]

Теперь подставим это выражение в уравнение:

\[ 1 - \cos^2x + \sin x \cos x = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \( \cos x \):

\[ \cos^2x - \sin x \cos x - 1 = 0 \]

Это уравнение можно решить, используя квадратное уравнение или замену переменной. Но так как вы интересуетесь корнями на интервале \([0, 2\pi]\), то можно разбить задачу на несколько этапов.

1. Подставим \( t = \cos x \). У нас будет уравнение \( t^2 - \sin x \cdot t - 1 = 0 \).

2. Решим это квадратное уравнение относительно \( t \) при условии, что \( x \) находится в пределах \([0, 2\pi]\).

3. Найденные значения \( t \) будут соответствовать значениям \( \cos x \). Далее найдем \( x \) из этих значений \( t \), удовлетворяющих условию \( x \in [0, 2\pi]\).

Это даст нам корни уравнения на заданном интервале. Хотите, чтобы я продолжил, решая это уравнение?