Question

Упростите выражение : ctg(3П/2-a)ctg(П+a)-sin(П/2+a)cos(2п-a)

Answer 1

Здесь нужно воспользоваться формулами приведения
$ctg( \frac{3 \pi}{2} - \alpha)$ — здесь $\frac{3\pi}{2}$, значит меняем на $\pm tga$; Выясним знак: $\frac{3 \pi}{2} - \alpha$ — это III (3-я) четверть, значит тангенс с плюсом $\boxed{tg \alpha }$

$ctg(\pi+ \alpha )$ — здесь $\pi$, значит оставляем $\pm ctg \alpha$. Выясним знак: $\pi+ \alpha$ — это III (3-я) четверть, значит котангенс с плюсом $\boxed{ctg \alpha }$

$\sin{(\frac{\pi}{2}+ \alpha )}$ — здесь $\frac{\pi}{2}$, значит меняем на $\pm \cos{ \alpha }$. Выясним знак: $\frac{\pi}{2}+ \alpha$ — это II (2-я) четверть — синус имеет знак +, значит косинус тоже $\boxed{\cos{ \alpha }}$

$\cos{(2\pi- \alpha )}$ — здесь $2\pi$, значит оставляем $\pm \cos{ \alpha }$. Выясним знак: $2\pi- \alpha$ — это IV (4-я) четверть, значит косинус с плюсом $\boxed{\cos{ \alpha }}$

Тангенс и котангенс взаимообратные числа, при умножении друг на друга получается единица $tg \alpha \cdot ctg \alpha =1$

$tg \alpha \cdot ctg \alpha - \cos{ \alpha} \cdot \cos{ \alpha}=1 - \cos^{2}{ \alpha }=\sin^{2} \alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество ctg(x) = 1/tg(x): ctg(3П/2-a) = 1/tg(3П/2-a)

2. Тождество tg(П-х) = -tg(х): tg(3П/2-a) = -tg(a)

3. Тождество ctg(-x) = -ctg(x): 1/tg(3П/2-a) = -1/tg(a)

Подставим полученные значения в исходное выражение:

ctg(3П/2-a) * ctg(П+a) - sin(П/2+a) * cos(2п-a) = (1/tg(a)) * tg(П+a) - sin(П/2+a) * cos(2п-a)

4. Тождество tg(П+х) = tg(х): tg(П+a) = tg(a)

Подставим эту замену в полученное выражение:

(1/tg(a)) * tg(a) - sin(П/2+a) * cos(2п-a) = 1 - sin(П/2+a) * cos(2п-a)

5. Тождество sin(П/2+x) = cos(x): sin(П/2+a) = cos(a)

6. Тождество cos(П-х) = -cos(х): cos(2п-a) = -cos(a)

Подставим эти замены в полученное выражение:

1 - cos(a) * (-cos(a)) = 1 + cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 1 + cos^2(a).