Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x-2√x на отрезке [0;9]

Answer 1

F(x)＝x-2√x
f'(x)＝1-1/√x
1-1/√x ＝0
x＝1 входит в промежуток [0;9]
Подставляем х＝0, х＝1, х＝9 в функцию:
f(0)＝0-2*0＝0
f(1)＝1-2*1＝-1 наименьшее значение
f(9)＝9-2*3＝3 наибольшее значение

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\) на отрезке \([0;9]\), следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри интервала \((0, 9)\), где производная функции равна нулю или не существует. 2. Вычислить значение функции в концах интервала, т.е., при \(x = 0\) и \(x = 9\). 3. Сравнить полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее.

1. Нахождение критических точек:

Найдем производную функции \(f(x)\):

\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

\[ 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \]

Решив уравнение, получим:

\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \]

\[ \sqrt{x} = 1 \]

\[ x = 1 \]

Таким образом, критическая точка \(x = 1\) находится внутри интервала \((0, 9)\).

2. Вычисление значений на концах интервала:

- При \(x = 0\): \(f(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0\) - При \(x = 9\): \(f(9) = 9 - 2\sqrt{9} = 9 - 6 = 3\)

3. Сравнение значений:

Теперь сравним значения \(f(x)\) при \(x = 0, 1, 9\):

- \(f(0) = 0\) - \(f(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1\) - \(f(9) = 3\)

Таким образом, минимальное значение функции \(f(x)\) равно \(-1\) и достигается при \(x = 1\), а максимальное значение равно \(3\) и достигается при \(x = 9\).