Question

Помогите решить уравнение cos^3x=(1-sin^2x)/(2sinx)

Answer 1

Cos^3 (x)* 2sin(x) = 1-sin^2 (x)
2cos(x)*sin(x)*cos^2 (x) = cos^2 (x)
sin(2x)* cos^2 (x) - cos^2 (x) = 0
cos^2 (x)* (sin (2x) - 1) = 0
cos^2 (x) = 0 или  sin2x - 1 = 0
cos x = 0              sin2x = 1
x= π/2 + πn          2x = π/2  +2πk
                            x = π/4 + πk  

Answer 2

Для решения данного уравнения cos^3x = (1 - sin^2x)/(2sinx) приведем его к более простому виду.

Сначала выразим sinx из второго уравнения: 2sinx * cos^3x = 1 - sin^2x 2sinx * cos^3x + sin^2x = 1

Заметим, что тут присутствует кубическая степень cosx, а тригонометрический тождественный куб sinx можно заменить квадратом: 2sinx * (1 - sin^2x) + sin^2x = 1 2sinx - 2sin^3x + sin^2x = 1 -2sin^3x + sin^2x + 2sinx - 1 = 0

Далее проведем замену переменной: sinx = t -2t^3 + t^2 + 2t - 1 = 0

Заметим, что t = 1 является одним из корней уравнения (подставьте в выражение, чтобы убедиться). Теперь мы можем разделить уравнение на t - 1: (-2t^3 + t^2 + 2t - 1) / (t - 1) = 0

Применим синтетическое деление: 1 -2 1 2 -1 1 1 -1 0 2 1 -1 0 2

Получили квадратное уравнение t^2 - t + 2 = 0. Решаем его с помощью формулы дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что у уравнения нет рациональных корней.

Теперь решим это уравнение с помощью формулы Виета: Так как у нас нет рациональных корней, будем искать комплексные корни: t1 = (-(-1) + √(-7)i) / (2 * 1) = (1 + √(-7)i) / 2 t2 = (-(-1) - √(-7)i) / (2 * 1) = (1 - √(-7)i) / 2

Итак, наши корни: t = (1 + √(-7)i) / 2 и t = (1 - √(-7)i) / 2.

Таким образом, уравнение имеет комплексные корни, что означает, что его решение представляет собой множество значений, удовлетворяющих данному уравнению.