Question

Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула об-ратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в непо-движной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Answer 1

Плот плывет со скоростью течения реки ⇒ V пл. = V теч. =  4 км/ч
1) 40 : 4 = 10 (часов) время, которое плот находился в пути 
2) 10 - 1 =  9 (часов)  время, которое яхта  находилась в пути.
Пусть собственная скорость  яхты (т.е. скорость в неподвижной воде)
 Vс = х км/ч .
По течению реки : 
скорость  V по теч. = (х+4) км/ч,
путь  S = 105 км 
время   t₁=  105/(х+4)  ч.

Против течения реки:
скорость  V против теч. = (х-4) км/ч
путь   S=105 км
время  t₂= 105/(x-4) ч.
Зная, что  на весь путь  ушло времени  9  часов, составим уравнение:
105/(х+4)   + 105/(х-4) = 9                   | * (x+4)(x-4)   
Знаменатели не могут быть равны 0 ⇒  х≠- 4 ; х≠4
105(x-4) + 105(x+4) = 9(x+4)(x-4)     
105 * (x-4 +x+4) = 9(x²-4²)                    |÷3
35 * 2x = 3x² -  3*16
70x=3x² - 48
3x² - 48  -  70x=0
3x² -70x - 48 = 0
D= (-70)²  - 4*3*(-48) = 4900 + 576=5476=74²
D>0  два корня уравнения
х₁= (70 -74)/(2*3) = - 4/6= - 2/3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной величиной.
х₂= (70+74)/6 = 144/6= 24 (км/ч) скорость яхты в неподвижной воде.

Ответ:  24 км/ч.

Answer 2

Пусть скорость плота в неподвижной воде равна v_плот, а скорость яхты в неподвижной воде равна v_яхта.

Так как яхта отправилась на реку через 1 час после отправления плота, то яхта плывет на реке на время, на которое плот пройдет оставшиеся 105 - 40 = 65 км.

Так как плот плывет по течению реки, то его скорость относительно берега составляет v_плот + 4 км/ч.

Время, за которое плот пройдет 40 км, можно выразить следующим образом:

t_плот = расстояние / скорость = 40 / (v_плот + 4) ч.

Аналогично, время, за которое яхта проплывет 65 км по реке, равно:

t_яхта = расстояние / скорость = 65 / (v_яхта + 4) ч.

Так как яхта плывет на реке столько же времени, сколько плот плывет по ней, получаем уравнение:

t_плот = t_яхта + 1.

Подставим выражения времени в это уравнение:

40 / (v_плот + 4) = 65 / (v_яхта + 4) + 1.

Упростим это уравнение:

40(v_яхта + 4) = 65(v_плот + 4) + v_плот + 4.

Раскроем скобки:

40v_яхта + 160 = 65v_плот + 260 + v_плот + 4.

Упростим это уравнение:

40v_яхта + 160 = 66v_плот + 264.

40v_яхта = 66v_плот + 104.

Теперь у нас есть уравнение, связывающее скорость плота и яхты. Разрешим его относительно v_яхта:

40v_яхта = 66v_плот + 104.

v_яхта = (66v_плот + 104) / 40.

v_яхта = 1.65v_плот + 2.6.

Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде равна 1.65 скорости плота плюс 2.6 км/ч.