Question

Очень нужна помощь! Помогите решить производную функции!1) f (x;y) =-6y^2 - 4x^2y - 4xy^3 в точке А( -1;2) в направлении, составляющиеся угол а=30 с положительным направлением оси 0x

Answer 1

Ответ:

$\frac{\partial f}{\partial l}=-8\sqrt{3}+10$

Пошаговое объяснение:

$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f }{\partial x}\cos(\alpha)+\frac{\partial f}{\partial y}\cos(\beta)$

Найдем угол бета:

$\beta=90\textdegree-\alpha=90\textdegree-30\textdegree=60\textdegree$

Теперь найдем косинусы этих углов:

$\cos(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos(\beta)=\frac{1}{2}$

Осталось найти частные производные  и их значение в точке А:

$\frac{\partial f}{\partial x}=-8xy-4y^3\\\frac{\partial f}{\partial x}(A)=-8*(-1)*2-4*2^3=-16\\\frac{\partial f}{\partial y}=-12y-4x^2-12xy^2\\\frac{\partial f}{\partial x}(A)=-12*2-4*(-1)^2-12*(-1)*2^2=20$

Находим производную:

$\frac{\partial f}{\partial l}=-16*\frac{\sqrt{3}}{2}+20*\frac{1}{2}=-8\sqrt{3}+10$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать понятие градиента функции и его связь с направлением наибольшего возрастания функции. Градиент функции f(x, y) в точке А(-1, 2) будет определен следующим образом:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

Для нахождения производных функции f(x, y), нам нужно взять частные производные по x и y. Давайте найдем эти производные по очереди.

Частная производная по x (∂f/∂x): Для нахождения этой производной, мы будем рассматривать y как константу и дифференцировать только по x. В данном случае, у нас есть два слагаемых, содержащих x: -4x^2y и -4xy^3.

∂f/∂x = -8xy - 4y^3

Частная производная по y (∂f/∂y): Теперь, мы будем рассматривать x как константу и дифференцировать только по y. Здесь у нас есть три слагаемых, содержащих y: -6y^2, -4x^2y и -4xy^3.

∂f/∂y = -12y - 4x^2 - 12xy^2

Теперь, когда у нас есть частные производные, мы можем найти градиент функции f(x, y) в точке А(-1, 2):

∇f(-1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (-8xy - 4y^3, -12y - 4x^2 - 12xy^2)

Теперь, чтобы найти направление наибольшего возрастания функции, мы можем использовать формулу:

∇f/|∇f| = (cos(a), sin(a))

где a - угол между направлением наибольшего возрастания функции и положительным направлением оси Ox. В данном случае, нам дан угол a = 30 градусов.

Теперь, чтобы найти составляющиеся градиента в направлении a = 30 градусов, мы можем умножить градиент на вектор (cos(a), sin(a)):

∇f в направлении a = 30 градусов = (∂f/∂x, ∂f/∂y) * (cos(a), sin(a))

где cos(a) = cos(30°) = √3/2 и sin(a) = sin(30°) = 1/2.

Таким образом, мы получаем:

∇f в направлении a = 30 градусов = (-8xy - 4y^3, -12y - 4x^2 - 12xy^2) * (√3/2, 1/2)

Подставляя значения x = -1 и y = 2, мы можем вычислить итоговые значения составляющихся градиента в направлении a = 30 градусов.