Question

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MNP, если MN=5, NP=16, NA=4, NA- высота треугольника MNP

Answer 1

$sinM= \frac{NA}{MN}= \frac{4}{5}=0.8$   (из прямоугольного треугольника MNA)

$R=\frac{NP}{2sinM}= \frac{16}{2*0.8}= \frac{16}{1.6}=10$  (из теоремы синусов)

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг треугольника MNP, нам понадобится использовать свойство описанной окружности и высоту треугольника.

Свойство описанной окружности гласит, что центр описанной окружности лежит на перпендикуляре к средней линии треугольника, проведенной из вершины к середине противоположной стороны.

Пусть H - середина стороны MN, а O - центр описанной окружности. Тогда NH - радиус описанной окружности. Треугольник NAH прямоугольный (поскольку H - середина), и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[NH^2 = NA^2 - AH^2.\]

Найдем длину сторон треугольника MNP:

\[MN = 5, \quad NP = 16, \quad NA = 4.\]

Также известно, что \(NA\) - высота треугольника. Теперь нужно найти длину \(AH\). Для этого воспользуемся подобием треугольников:

\[\frac{AH}{NH} = \frac{NA}{NP}.\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и найти радиус \(NH\):

1. Найдем \(AH\) из подобия треугольников. 2. Подставим значения в формулу \(NH^2 = NA^2 - AH^2\) и найдем \(NH\).

Давайте выполним эти шаги.

1. Найдем \(AH\):

\[\frac{AH}{NH} = \frac{NA}{NP} \implies AH = \frac{NA \cdot NH}{NP}.\]

2. Подставим \(AH\) в формулу Пифагора:

\[NH^2 = NA^2 - AH^2 = NA^2 - \left(\frac{NA \cdot NH}{NP}\right)^2.\]

Теперь решим это уравнение для \(NH\). После нахождения \(NH\) мы получим радиус описанной окружности.

Теперь давайте подставим известные значения:

\[NH^2 = 4^2 - \left(\frac{4 \cdot NH}{16}\right)^2.\]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(NH\), которое будет радиусом описанной окружности.