Question

Sin18cos14-cos16cos74=? помогите

Answer 1

Solution in the pct


Good luck:)



Turkey/BL

Answer 2

Давайте решим выражение \( \sin(18^\circ)\cos(14^\circ) - \cos(16^\circ)\cos(74^\circ) \).

Для удобства использования углов в градусах, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. \( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \) 2. \( \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \)

Прежде всего, давайте перепишем углы в виде суммы или разности более простых углов:

- \( \sin(18^\circ) = \sin(45^\circ - 27^\circ) \) - \( \cos(14^\circ) = \cos(45^\circ - 31^\circ) \) - \( \cos(16^\circ) = \cos(45^\circ - 29^\circ) \) - \( \cos(74^\circ) = \cos(45^\circ + 29^\circ) \)

Теперь используем тригонометрические тождества:

\[ \begin{align*} \sin(18^\circ)\cos(14^\circ) - \cos(16^\circ)\cos(74^\circ) &= (\sin(45^\circ - 27^\circ)\cos(45^\circ - 31^\circ)) \\ &\quad- (\cos(45^\circ - 29^\circ)\cos(45^\circ + 29^\circ)) \\ &= \left[\sin(45^\circ)\cos(31^\circ) - \cos(29^\circ)\cos(74^\circ)\right] \\ &\quad- \left[\cos(45^\circ)\cos(29^\circ) + \sin(29^\circ)\cos(74^\circ)\right] \end{align*} \]

Теперь используем тригонометрические значения для \( \sin(45^\circ) \), \( \cos(31^\circ) \), \( \cos(29^\circ) \), и \( \cos(74^\circ) \):

\[ \begin{align*} \sin(45^\circ)\cos(31^\circ) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} \\ \cos(29^\circ) &= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \\ \cos(74^\circ) &= -\sin(16^\circ) = -\sin(45^\circ - 29^\circ) \\ &= -\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(29^\circ) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(29^\circ)\right) \\ &= -\frac{\sqrt{3} + 1}{4} \\ \cos(45^\circ)\cos(29^\circ) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} \\ \sin(29^\circ)\cos(74^\circ) &= \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \end{align*} \]

Теперь подставим значения обратно в исходное выражение:

\[ \begin{align*} &\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} + 1}{4}\right) - \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{3} - 1}{4}\right) \\ &= 0 - \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \\ &= -\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \end{align*} \]

Итак, \( \sin(18^\circ)\cos(14^\circ) - \cos(16^\circ)\cos(74^\circ) = -\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \).