Question

ДОКАЖИТЕ 8^7-1 кратно 7 ДОКАЖИТЕ что 3n^2+4n-4 кратно 2

Answer 1

1) 8^7-1 это разность седьмых степеней, а 7=8-1

 

$\frac{8^7-1}{7}=\frac{(8-1)(8^6+8^5\cdot1+8^4\cdot1^2+8^3\cdot1^3+8^2\cdot1^4+8\cdot1^5+1^6)}{8-1}=8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1$

 

2) Разложим на множители:

 

$3n^2+4n-4=3n^2+6n-2n-4=3n(n+2)-2(n+2)=(n+2)(3n-2)$

 

Если n - чётное число, то оба множителя чётные, значит, и выражение 3n^2+4n-4 чётное, т.е. кратно 2.

Если n - нечётное число, то оба множителя нечётные, значит, и выражение 3n^2+4n-4 нечётное, т.е. некратно 2.

ИЛИ ТАК:

(3n^2+4n-4):=1,5n^2+2n-2

Сумма чётна, если все слагаемые чётны.

2n и (-2) - чётные слагаемые,

1,5n^2 будет чётным, если n - чётное число, и нечётным, если n - нечётное.

Answer 2

Давайте начнем с доказательства того, что число 8^7 - 1 делится на 7.

Доказательство: 8^7 - 1 кратно 7

Мы можем воспользоваться свойствами арифметики и остатков от деления, чтобы показать, что 8^7 - 1 делится на 7.

1. Первым шагом мы заметим, что 8^7 можно записать как (7 + 1)^7.

Заметим, что это равносильно (7^7 + 7 * 1 * 7^6 + ... + 7 * 1^6 * 7 + 1^7).

2. Мы можем применить бином Ньютона, чтобы разложить (7 + 1)^7.

(7 + 1)^7 = 7^7 + 7 * 1 * 7^6 + ... + 7 * 1^6 * 7 + 1^7.

3. Теперь мы можем заметить, что все члены, кроме первого и последнего, содержат фактор 7.

Поэтому мы можем записать (7 + 1)^7 в виде 7^7 + 7 * (целое число).

4. Поскольку каждый член, содержащий фактор 7, делится на 7, мы можем сократить это выражение и получить:

(7^7 + 7 * (целое число)) ≡ 7^7 (mod 7).

Это означает, что (7^7 + 7 * (целое число)) имеет остаток 7 при делении на 7.

5. Теперь мы можем заметить, что 7^7 делится на 7.

Поэтому, (7^7 + 7 * (целое число)) делится на 7.

6. Наконец, мы можем вычесть 1 из этого выражения и получить:

(7^7 + 7 * (целое число)) - 1 ≡ 0 (mod 7).

Это означает, что (7^7 - 1) делится на 7.

Таким образом, мы доказали, что 8^7 - 1 делится на 7.

Доказательство: 3n^2 + 4n - 4 кратно 2

Теперь докажем, что выражение 3n^2 + 4n - 4 делится на 2.

1. Мы можем разложить это выражение:

3n^2 + 4n - 4 = 2(1.5n^2 + 2n - 2).

2. Заметим, что внутреннее выражение, (1.5n^2 + 2n - 2), является целым числом для любого значения n.

Это происходит потому, что коэффициенты 1.5, 2 и -2 являются целыми числами.

3. Поэтому мы можем записать 3n^2 + 4n - 4 в виде 2(целое число).

Это означает, что 3n^2 + 4n - 4 делится на 2.

Таким образом, мы доказали, что 3n^2 + 4n - 4 делится на 2.