Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения y"-10y+25y=0 при х=0 у=2 y'=8

Answer 1

y''-10y+25=0 Пишем уравнение характеристик
β²-10β+25=0
(β-5)²=0
β₁=5, β₂=5

y(x) = (C₁x+C₂)e⁵ˣ

y'(x) = C₁e⁵ˣ + 5(C₁x+C₂)e⁵ˣ
x=0 ⇒ y(0) = C₂=2
y'(0) = C₁ + 5C₂ = 8 ⇒ C₁ = -2
y(x) = (-2x+2)e⁵ˣ

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением со столбцом свободных членов равным нулю. Его можно записать в виде:

\[y'' - 10y' + 25y = 0.\]

Для нахождения частного решения воспользуемся характеристическим уравнением:

\[r^2 - 10r + 25 = 0.\]

Это уравнение имеет корень \(r = 5\) дважды. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

\[y(x) = c_1 e^{5x} + c_2 x e^{5x}.\]

Теперь нам нужно найти значения постоянных \(c_1\) и \(c_2\) с использованием начальных условий \(x = 0, y = 2, y' = 8\).

Из условия \(y(0) = 2\) получаем:

\[c_1 + c_2 \cdot 0 = 2 \Rightarrow c_1 = 2.\]

Теперь возьмем производную \(y'(x)\) и подставим условие \(y'(0) = 8\):

\[y'(x) = 5c_1 e^{5x} + c_2 e^{5x}.\]

\[5c_1 + c_2 = 8.\]

Подставляем \(c_1 = 2\) и решаем уравнение относительно \(c_2\):

\[5 \cdot 2 + c_2 = 8 \Rightarrow c_2 = -2.\]

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с учетом начальных условий будет:

\[y(x) = 2e^{5x} - 2x e^{5x}.\]