Question

Пожалуйста, помогите решить уравнение: Исследуйте функцию f(x)=27x-x^3 на максимум и минимум.

Answer 1

f ' (x) = 27 -3x² = 3 (9-x²)= 3(3-x)(3+x)

____--_____-3_______+______3_______--______

убывает     мин    возрастает  макс    убывает

Ответ миниму -3

максимум 3

Answer 2

Чтобы найти максимумы и минимумы функции \( f(x) = 27x - x^3 \), нужно выполнить несколько шагов. Давайте последовательно проанализируем функцию.

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(27x - x^3) \]

Производная функции представляет собой скорость изменения функции. Найдем \( f'(x) \): \[ f'(x) = 27 - 3x^2 \]

2. Найдем точки, где \( f'(x) = 0 \): \[ 27 - 3x^2 = 0 \]

Решим уравнение для \( x \): \[ 3x^2 = 27 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

3. Проверим вторую производную: Для определения характера точек (максимум, минимум) используем вторую производную. \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(27 - 3x^2) \] \[ f''(x) = -6x \]

Подставим \( x = -3 \) и \( x = 3 \) во вторую производную: - При \( x = -3 \), \( f''(-3) = -6(-3) = 18 > 0 \) (выполняется условие для минимума). - При \( x = 3 \), \( f''(3) = -6(3) = -18 < 0 \) (выполняется условие для максимума).

4. Найдем значения функции в найденных точках и на концах интервала: - \( f(-3) = 27(-3) - (-3)^3 = -81 \) - \( f(3) = 27(3) - 3^3 = 54 \) - \( \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = \lim_{{x \to -\infty}} (27x - x^3) = -\infty \) - \( \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}} (27x - x^3) = -\infty \)

5. Составим таблицу знаков для \( f'(x) \): \[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -3 & 3 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & - \\ \end{array} \]

Исходя из таблицы знаков, можем сделать выводы: - Минимум при \( x = -3 \) - Максимум при \( x = 3 \)

Таким образом, функция \( f(x) = 27x - x^3 \) имеет минимум при \( x = -3 \) и максимум при \( x = 3 \). Минимальное значение функции равно -81, а максимальное значение равно 54.