Question

При каком значении k точки A(3; 2; 1), B(7; 6; 1), C(–1; 8; 0), D(2; 2; k) лежат в одной плоскости?

Answer 1

Найдём уравнение плоскости АВС.

(x - 3)     (y - 2)     (z - 1) |       (x - 3)     (y - 2)

  4            4            0   |            4           4

 -4           6           -1    |            -4           6    =      (x - 3)*(-4) + 0 + (z - 1)*24 -

- (y - 2)*(-4) - 0 - (z - 1)*(-16) = -4x + 12 + 24z - 24 + 4y - 8 + 16z - 16 =

= -4x + 4y + 40z - 36 = 0.

Сократим на -4:  x - y - 10z + 9 = 0/

Получено уравнение плоскости АВС. Подставим туда координаты точки Д: 2 - 2 - 10к + 9 = 0.

Ответ: к = 9/10.

Answer 2

Для того чтобы определить, при каком значении k точки A(3, 2, 1), B(7, 6, 1), C(-1, 8, 0) и D(2, 2, k) лежат в одной плоскости, мы можем использовать свойство, что три точки лежат в одной плоскости, если векторное произведение двух векторов, образованных этими точками, равно нулю.

Векторы AB и AC

Вектор AB можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки B: AB = B - A = (7, 6, 1) - (3, 2, 1) = (4, 4, 0)

Вектор AC можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки C: AC = C - A = (-1, 8, 0) - (3, 2, 1) = (-4, 6, -1)

Векторное произведение AB и AC

Для вычисления векторного произведения двух векторов, мы можем использовать следующую формулу: AB x AC = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y, AB_z * AC_x - AB_x * AC_z, AB_x * AC_y - AB_y * AC_x)

Вычислим векторное произведение AB x AC: AB x AC = (4 * 6 - 4 * 6, 4 * (-4) - 0 * (-4), 4 * (-1) - 4 * (-4)) = (0, -16, -12)

Проверка равенства нулю

Если векторное произведение AB x AC равно нулю, то точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Проверим это: AB x AC = (0, -16, -12)

Векторное произведение AB x AC не равно нулю, поэтому точки A(3, 2, 1), B(7, 6, 1), C(-1, 8, 0) и D(2, 2, k) не лежат в одной плоскости при любом значении k.

Ответ: Точки A(3, 2, 1), B(7, 6, 1), C(-1, 8, 0) и D(2, 2, k) не лежат в одной плоскости при любом значении k.