Question

Помогите пожалуйста:) Решить неравенство: lg(x+2)<2-lg(2x-6)

Answer 1

$\lg(x+2) < 2-\lg(2x-6)\\ \lg(x+2) < \lg 100-\lg(2x-6)\\ \lg(x+2) < \lg \frac{100}{2x-6}\\ (x+2) < \frac{100}{2x-6}\\ \begin{cases} 2x-6>0\\ (x+2)(2x-6)<100 \end{cases} \begin{cases} 2x-6<0\\ (x+2)(2x-6)>100 \end{cases}\\ \begin{cases} x>3\\ 2x^2-2x-112<0 \end{cases} \begin{cases} x<3\\ 2x^2-2x-112>0 \end{cases}\\ \begin{cases} x>3\\ -7<x<8 \end{cases}\\ x \in (-\infty;-7)\cup(3;8)$

Из начальных условий (область определения логарифма)

x+2>0

x>-2

и

2x-6>0

x>3

ИТОГО

$x \in (3;8)$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное неравенство:

\[ \log_{10}(x+2) < 2 - \log_{10}(2x-6) \]

Для начала, давайте объединим логарифмы с одной стороны уравнения:

\[ \log_{10}(x+2) + \log_{10}(2x-6) < 2 \]

Теперь воспользуемся свойствами логарифмов, а именно, свойством произведения логарифмов:

\[ \log_{10}((x+2)(2x-6)) < 2 \]

Упростим выражение внутри логарифма:

\[ (x+2)(2x-6) < 10^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - 6x + 4x - 12 < 100 \]

\[ 2x^2 - 2x - 112 < 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство. Нам нужно найти интервалы, на которых это неравенство выполняется. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

\[ 2x^2 - 2x - 112 = 0 \]

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 2\), \(b = -2\), \(c = -112\).

\[ D = (-2)^2 - 4(2)(-112) \] \[ D = 4 + 896 \] \[ D = 900 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{900}}{4} \] \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm 30}{4} \]

Таким образом, корни уравнения \(2x^2 - 2x - 112 = 0\) равны \(x_1 = -14\) и \(x_2 = 8\).

Теперь определим знак выражения \(2x^2 - 2x - 112\) на каждом из интервалов, образованных корнями уравнения.

1. Если \(x < -14\): Подставим, например, \(x = -15\): \[2(-15)^2 - 2(-15) - 112 > 0\] Получаем положительное значение.

2. Если \(-14 < x < 8\): Подставим, например, \(x = 0\): \[2(0)^2 - 2(0) - 112 < 0\] Получаем отрицательное значение.

3. Если \(x > 8\): Подставим, например, \(x = 9\): \[2(9)^2 - 2(9) - 112 > 0\] Получаем положительное значение.

Таким образом, неравенство \(2x^2 - 2x - 112 < 0\) выполняется на интервале \(-14 < x < 8\). Теперь вернемся к исходному неравенству:

\[ (x+2)(2x-6) < 100 \]

Мы знаем, что \(x+2 > 0\) и \(2x-6 > 0\) на интервале \(-14 < x < 8\), поэтому мы можем разделить обе стороны неравенства на положительное число:

\[ x+2 < \frac{100}{2x-6} \]

Теперь давайте рассмотрим знаки в выражении. Мы уже установили, что \(2x^2 - 2x - 112 < 0\) на интервале \(-14 < x < 8\), значит \(x+2 < 0\). Следовательно, мы меняем знак неравенства при делении:

\[ x+2 > \frac{100}{2x-6} \]

Теперь решим полученное неравенство:

\[ (x+2)(2x-6) > 100 \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - 6x + 4x - 12 > 100 \]

\[ 2x^2 - 2x - 112 > 0 \]

Это неравенство выполняется на интервалах \((- \infty, -14) \cup (8, +\infty)\).

Таким образом, исходное неравенство \( \log_{10}(x+2) < 2 - \log_{10}(2x-6) \) выполняется на интервале \(-14 < x < 8\).