Question

Найти все комплексные корни уравнения третьей степени x^3-3x^2+3=0

Answer 1

X*3=0 и 3x*2=0 и x=3
x=0    и x=0      и x=3
наверно так

Answer 2

Конечно, давайте найдем все комплексные корни уравнения третьей степени:

\[x^3 - 3x^2 + 3 = 0.\]

Для начала, давайте введем замену переменной. Пусть \(y = x - 1\), тогда \(x = y + 1\). Подставим это в уравнение:

\[(y + 1)^3 - 3(y + 1)^2 + 3 = 0.\]

Раскроем скобки:

\[y^3 + 3y^2 + 3y + 1 - 3(y^2 + 2y + 1) + 3 = 0.\]

Упростим:

\[y^3 + 3y^2 + 3y + 1 - 3y^2 - 6y - 3 + 3 = 0.\]

Сгруппируем по степеням \(y\):

\[y^3 - 3y - 3 = 0.\]

Теперь мы получили уравнение вида \(y^3 - 3y - 3 = 0\), которое является уравнением для кубической функции. Для решения этого уравнения воспользуемся методом Кардано.

Обозначим \(y_1, y_2\) и \(y_3\) корнями уравнения \(y^3 - 3y - 3 = 0\).

Мы можем использовать следующие формулы для нахождения корней:

\[y_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}},\]

где \(p = -3\) и \(q = -3\).

Подставим значения и вычислим:

\[y_1 = \sqrt[3]{-\frac{(-3)}{2} + \sqrt{\frac{(-3)^2}{4} + \frac{(-3)^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{(-3)}{2} - \sqrt{\frac{(-3)^2}{4} + \frac{(-3)^3}{27}}}.\]

\[y_1 = \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{27}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{27}{27}}}.\]

\[y_1 = \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} - 1}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{9}{4} - 1}}.\]

\[y_1 = \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{5}{4}}}.\]

\[y_1 = \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}.\]

Аналогично, можно выразить \(y_2\) и \(y_3\):

\[y_2 = \omega \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}},\]

\[y_3 = \omega^2 \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}},\]

где \(\omega = e^{2\pi i/3}\) - комплексный корень из единицы.

Теперь вернемся к замене переменной \(y = x - 1\):

\[x_1 = y_1 + 1,\]

\[x_2 = y_2 + 1,\]

\[x_3 = y_3 + 1.\]

Таким образом, мы нашли три комплексных корня уравнения \(x^3 - 3x^2 + 3 = 0\):

\[x_1 = 1 + \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}},\]

\[x_2 = 1 + \omega \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}},\]

\[x_3 = 1 + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}.\]

Где \(\omega = e^{2\pi i/3}\).