Question

Докажите что, ab(a+b)≤a^3+b^3 если а≥0 b≥0

Answer 1

Допустим, что a<0 и b<0. Распишем сумму кубов: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Тогда ab(a+b)≤(a+b)(a^2-ab+b^2). При a и b<0, (a+b)-отрицательное, а а^2-ab+b^2≥ab, поскольку (a-b)^2≥0 при любых a и b. Тогда сокращением на (a+b) меняется знак неравенства. Имеем ab≥(a^2-ab+b^2) или (a-b)^2≤0, но это неравенство не выполняется, за исключением равенства нулю при равных a и b. Приходим к противоречию, следовательно верное неравенство (a-b)^2≥0 выполняется только при a≥0 и b≥0.

Answer 2

Для доказательства неравенства \(ab(a+b) \leq a^3 + b^3\), когда \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Раскроем левую часть неравенства: \[ ab(a+b) \]

2. Разложим правую часть неравенства: \[ a^3 + b^3 \]

3. Заметим, что \(a^3 + b^3\) можно представить в виде суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

4. Теперь сравним \(ab(a+b)\) и \((a + b)(a^2 - ab + b^2)\): \[ ab(a+b) \leq (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

5. Упростим правую часть: \[ ab(a+b) \leq a^3 - a^2b + ab^2 + ab^2 - ab^2 + b^3 \]

6. После сокращения и упрощения: \[ ab(a+b) \leq a^3 + b^3 \]

Таким образом, мы доказали, что \(ab(a+b) \leq a^3 + b^3\) при условии \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\).