Question

Решить интеграл Небольшая подсказка - тема "Интегрирование по частям"

Answer 1

Решение смотри во вложении.

Answer 2

$\int{ln(x)/(x*x+1)}\, dx = -ln(x)/(x+1) + \int{(1/x*1/(x+1))}\, dx = -ln(x)/(x+1) + ln(x/(x+1)) + C$

Answer 3

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - это метод интегрирования, который позволяет найти интеграл от произведения двух функций. Он основан на формуле интегрирования по частям:

Формула интегрирования по частям: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

где $u$ и $v$ - функции, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы.

Применение этой формулы позволяет свести интеграл к другому интегралу, который может быть более простым для вычисления. Обычно выбираются функции $u$ и $dv$ таким образом, чтобы после применения формулы интегрирования по частям интеграл стал более простым.

Пример применения интегрирования по частям

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять, как применяется интегрирование по частям.

Пример: Вычислить интеграл $\int x \cos(x) \, dx$.

Решение: В данном примере выберем $u = x$ и $dv = \cos(x) \, dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(x) \, dx = \sin(x)$.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: $$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx$$

Интеграл $\int \sin(x) \, dx$ легко вычисляется и равен $-\cos(x)$. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем окончательный результат: $$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C$$

где $C$ - произвольная постоянная.

Заключение

Интегрирование по частям - это полезный метод для вычисления интегралов от произведений функций. Он позволяет свести сложный интеграл к более простому, что упрощает его вычисление. Применение формулы интегрирования по частям требует выбора подходящих функций $u$ и $dv$, чтобы получить наибольшую пользу от этого метода.

Примечание: Для более подробной информации и примеров применения интегрирования по частям, рекомендуется обратиться к учебникам по математике или онлайн-ресурсам, таким как и т.д.