Question

Дано уравнение : 3t^2-неизвестно t + 4 =0 а) Дополните таким действительным числом, чтобы множество решений уравнения содержало два элемента . б) Решите на множестве R уравнение , полученное в пункте а). в) Напишите многочлен второй степени корнями которого являются противоположные значения решений , полученных в пункте б).

Answer 1

А) например, подойдет 8, уравнение 3t^2 - 8t + 4 = 0
Вообще, если неизвестный коэффициент обозначить за u, то подойдет любое u, для которого дискриминант u^2 - 4 * 3 * 4 = u^2 - 48 > 0

б) D = 8^2 - 48 = 16 = 4^2
t = (8 +- 4)/6
t1 = (8 - 4)/6 = 2/3
t2 = (8 + 4)/6 = 2

в) Нужно написать многочлен, корни которого t = -t1 и t = -t2.
Это может быть, например, многочлен (t + t1)(t + t2) = (t + 2/3)(t + 2)
Самый простой способ построить такой многочлен, не вычисляя корней, – воспользоваться теоремой Виета и её обратной. Для противоположных корней сумма меняет знак, а произведение остается прежним, так что 3t^2 + 8t + 4 подходит.

Answer 2

Давайте пошагово решим данное уравнение и выполним указанные задачи:

Уравнение: \(3t^2 + t + 4 = 0\).

а) Дополним уравнение таким действительным числом, чтобы множество решений содержало два элемента.

Для того чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным (\(D > 0\)). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения \(at^2 + bt + c = 0\).

В данном случае: \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 4\).

\[D = (1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47.\]

Дискриминант отрицательный. Чтобы сделать его положительным, добавим к уравнению мнимую единицу \(i\):

\[3t^2 + t + 4 = 0 \Rightarrow 3t^2 + t + 4 + i = 0.\]

Теперь у нас есть уравнение, у которого множество решений содержит два элемента.

б) Решим уравнение на множестве \(\mathbb{R}\), полученное в пункте а).

\[3t^2 + t + 4 + i = 0.\]

Для того чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) - дискриминант.

\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{-47}}{2 \cdot 3}.\]

Так как дискриминант отрицательный, то у него нет действительных корней в \(\mathbb{R}\), и решения будут комплексными числами. Мы оставим ответ в виде:

\[t = \frac{-1 \pm i\sqrt{47}}{6}.\]

в) Напишем многочлен второй степени, корнями которого являются противоположные значения решений, полученных в пункте б).

Итак, решения из пункта б) имеют вид \(t = \frac{-1 \pm i\sqrt{47}}{6}\). Противоположные значения будут \(-\frac{1}{6} + \frac{i\sqrt{47}}{6}\) и \(-\frac{1}{6} - \frac{i\sqrt{47}}{6}\).

Мы знаем, что если \(t\) - корень многочлена \(ax^2 + bx + c\), то \(-t\) тоже является корнем. Таким образом, многочлен второй степени, корнями которого являются противоположные значения решений, будет иметь вид:

\[(t + \frac{1}{6} - \frac{i\sqrt{47}}{6})(t + \frac{1}{6} + \frac{i\sqrt{47}}{6}).\]

Раскроем скобки и упростим:

\[t^2 + (\frac{1}{6} - \frac{i\sqrt{47}}{6} + \frac{1}{6} + \frac{i\sqrt{47}}{6})t + (\frac{1}{6} - \frac{i\sqrt{47}}{6})(\frac{1}{6} + \frac{i\sqrt{47}}{6}).\]

Теперь можно объединить подобные члены и упростить:

\[t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{1}{36} + \frac{47}{36}.\]

Итак, многочлен второй степени, корнями которого являются противоположные значения решений, имеет вид:

\[t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{48}{36} = t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{4}{3}.\]