Question

Найдите последнюю цифру числа 1! + 2! + 3! + ...! + 2015! ( n! - произведение всех натуральных чисел от 1 до n)

Answer 1

1+2+6+24+120+720+5040+40320... дальше у всех слогаемых последний ноль

ответ 3

Answer 2

Давайте рассмотрим, как можно найти последнюю цифру числа \(1! + 2! + 3! + \ldots + 2015!\).

Для начала, давайте выразим это число в более компактной форме. Обозначим сумму факториалов как \(S\):

\[S = 1! + 2! + 3! + \ldots + 2015!\]

Теперь рассмотрим последние цифры нескольких факториалов:

\[1! = 1\] \[2! = 2 \times 1 = 2\] \[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\] \[4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\] \[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\] \[6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\]

Теперь давайте обратим внимание на последние цифры факториалов начиная с 5!. Мы видим, что последние цифры факториалов начинают повторяться с определенного момента. Это происходит потому, что умножение на 5 добавляет ноль в конце числа, и после этого происходит повторение последних цифр.

Таким образом, мы можем разбить сумму \(S\) на группы с длиной периода 4 (так как 5! начинает повторяться каждые 4 факториала):

\[S = (1! + 2! + 3! + 4!) + (5! + 6! + \ldots + 2015!)\]

Теперь обратим внимание на первую группу:

\[1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33\]

Теперь рассмотрим вторую группу. Мы знаем, что каждый факториал, начиная с 5!, заканчивается на 0. Поэтому для второй группы мы можем игнорировать последние цифры каждого факториала и сосредоточиться на оставшейся части:

\[5! + 6! + \ldots + 2015!\]

Так как 5! заканчивается на 0, мы можем игнорировать последний ноль. Теперь рассмотрим только оставшиеся цифры:

\[5! + 6! + \ldots + 2015!\]

\[= 5(4!) + 6(5!) + \ldots + 2015!\]

Теперь мы видим, что каждый член этой суммы, начиная с \(5!\), делится на 5. Поэтому мы можем снова игнорировать последние цифры и сосредоточиться на оставшихся:

\[5(4!) + 6(5!) + \ldots + 2015!\]

\[= 5(4!) + 6(5!) + \ldots + 2015!\]

\[= 5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!\]

Теперь сложим только оставшиеся цифры:

\[5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!\]

Таким образом, мы разбили исходное число \(S\) на две части: первая часть (33) и вторая часть, где мы сконцентрировались на оставшихся цифрах факториалов, начиная с \(5!\). Теперь мы можем сложить эти две части:

\[S = 33 + (5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!)\]

Теперь рассмотрим только вторую часть:

\[5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!\]

Эту сумму можно рассматривать по модулю 10, так как мы ищем только последнюю цифру. Посмотрим, что у нас получится:

\[5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!\]

\[= 5(4!) + 6(5!) + \ldots + 2015!\]

\[= 5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!\]

\[= 5(4!) + 6(5!) + \ldots + 2015!\]

\[= 5(24) + 6(120) + \ldots + 2015!\]

Так как каждый член этой суммы делится на 10, оставшаяся часть будет равна 0.

Таким образом, вторая часть суммы, рассмотренная по модулю 10, будет равна 0:

\[5(24) + 6(120) + \ldots + 2015! \equiv 0 \pmod{10}\]

Теперь сложим первую часть (33) с этой нулевой второй частью:

\[S = 33 + 0 \equiv 33 \pmod{10}\]

Таким образом, последняя цифра суммы \(1! + 2! + 3! + \ldots + 2015!\) равна 3.