Question

Составьте уравнения касательной: 1)y=x³-2x²+3x+4; x=2 2)y=x/4^4+x/2^2+2x-1; x=2

Answer 1

1.
f(x) = x³-2x²+3x+4; x0=2

f(2) = 2^3 - 2*2^2 + 3*2 +4 = 8-8+6+4 = 10

f'(x0) = (x³-2x²+3x+4)'=3x^2 - 4x + 3

f'(2) = 3*2^2 - 4*2 +3 = 12 - 8 +3 = 7

Уравнение касательной:

y = f(x0) + f'(x0)(x - x0)

y = 10 +7*(x-2)

2.
f(x) = x/4^4+x/2^2+2x-1; x0=2

f(2) = (2/4)^4 + (2/2)^2 +2*2 -1 = 1/16 + 1 +4 -1 = 1/16 +4 = 65/16

f'(x) = (x/4^4+x/2^2+2x-1)' = x^3 + x + 2

f'(2) = 2^3 + 2 +2 = 8+2+2 = 12

Уравнение касательной:

y = 65/16 +12*(x-2)

Answer 2

Уравнение касательной к кривой

Чтобы составить уравнение касательной к кривой, необходимо знать функцию, описывающую эту кривую, и точку, в которой требуется найти касательную.

# 1) y = x³ - 2x² + 3x + 4; x = 2

Для данной кривой с функцией y = x³ - 2x² + 3x + 4 и точкой x = 2, мы можем найти уравнение касательной, используя производную функции.

1. Найдем производную функции y = x³ - 2x² + 3x + 4:

y' = 3x² - 4x + 3

2. Подставим x = 2 в производную, чтобы найти значение производной в точке x = 2:

y'(2) = 3(2)² - 4(2) + 3 = 12 - 8 + 3 = 7

3. Используем значение производной в точке x = 2 и координаты точки (2, y) для составления уравнения касательной в точке x = 2:

Уравнение касательной: y - y₁ = m(x - x₁)

Где (x₁, y₁) - координаты точки на кривой (2, y), m - значение производной в точке x = 2.

Подставим значения:

y - y₁ = 7(x - x₁)

y - y₁ = 7(x - 2)

Упростим:

y - y₁ = 7x - 14

y - y₁ - 7x = -14

y - 7x = -14 + y₁

y - 7x = -14 + (2³ - 2(2)² + 3(2) + 4)

y - 7x = -14 + 8 - 8 + 6 + 4

y - 7x = -4

Итак, уравнение касательной к кривой y = x³ - 2x² + 3x + 4 в точке x = 2:

y - 7x = -4

# 2) y = x/4^4 + x/2^2 + 2x - 1; x = 2

Для данной кривой с функцией y = x/4^4 + x/2^2 + 2x - 1 и точкой x = 2, мы также можем найти уравнение касательной, используя производную функции.

1. Найдем производную функции y = x/4^4 + x/2^2 + 2x - 1:

y' = 1/4^4 + 1/2^2 + 2

y' = 1/256 + 1/4 + 2

y' = 1/256 + 64/256 + 512/256

y' = (1 + 64 + 512)/256

y' = 577/256

2. Подставим x = 2 в производную, чтобы найти значение производной в точке x = 2:

y'(2) = 577/256

3. Используем значение производной в точке x = 2 и координаты точки (2, y) для составления уравнения касательной в точке x = 2:

Уравнение касательной: y - y₁ = m(x - x₁)

Где (x₁, y₁) - координаты точки на кривой (2, y), m - значение производной в точке x = 2.

Подставим значения:

y - y₁ = (577/256)(x - x₁)

y - y₁ = (577/256)(x - 2)

Упростим:

y - y₁ = (577/256)x - (577/128)

y - y₁ - (577/256)x = - (577/128)

y - (577/256)x = - (577/128) + y₁

y - (577/256)x = - (577/128) + (2/4^4 + 2/2^2 + 2(2) - 1)

y - (577/256)x = - (577/128) + 1/256 + 4/4 + 4 - 1

y - (577/256)x = - (577/128) + 1/256 + 1 + 4 - 1

y - (577/256)x = - (577/128) + 1/256 + 3

y - (577/256)x = - (577/128) + 256/256 + 3

y - (577/256)x = - (577/128) + 256/128 + 3

y - (577/256)x = - (577 + 256)/128 + 3

y - (577/256)x = - (833)/128 + 3

Итак, уравнение касательной к кривой y = x/4^4 + x/2^2 + 2x - 1 в точке x = 2:

y - (577/256)x = - (833)/128 + 3