Question

Помогите решить корень из 3-i

Answer 1

Наверно 1.73205081 - i

Answer 2

Конечно, давайте решим корень из \(3 - i\).

Представим это комплексное число в виде \(a + bi\), где \(a\) и \(b\) - действительные числа. В данном случае \(a = 3\) и \(b = -1\).

Теперь мы хотим найти корень из этого комплексного числа. Пусть \(z = \sqrt{3 - i}\).

Мы можем воспользоваться тригонометрической формой комплексных чисел, которая записывается как:

\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

где \(r\) - модуль комплексного числа, а \(\theta\) - аргумент комплексного числа.

Модуль \(r\) можно найти по формуле:

\[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В нашем случае:

\[ r = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Аргумент \(\theta\) можно найти с использованием тангенса:

\[ \theta = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) \]

В нашем случае:

\[ \theta = \arctan \left(\frac{-1}{3}\right) \]

Теперь, когда у нас есть модуль и аргумент, мы можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\[ z = \sqrt{10} \left(\cos \left(\arctan \left(\frac{-1}{3}\right)\right) + i \sin \left(\arctan \left(\frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения этой формулы. Например, мы можем использовать тригонометрическую формулу для суммы углов, чтобы упростить выражение для \(\theta\).

\[ \cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \]

\[ \sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \]

Таким образом, мы можем записать корень из \(3 - i\) в тригонометрической форме:

\[ z = \sqrt{10} \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}} + i \frac{\frac{-1}{3}}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}}\right) \]

Теперь у нас есть тригонометрическая форма корня из \(3 - i\). Если необходимо, вы можете дополнительно упростить это выражение, например, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{9}\).