Question

Y=X^3/(X^2-1) Найти у`, приравнять к 0, нарисоваить возрастание и убывание функции, найти дополнительные точки и нарисовать график ( последнее можно не делатт :) Воть такое... Помогите пожалуйста)

Answer 1

y`=(3x^2*(x^2-1)-x^3*2x)\(x^2-1)^2=(3x^4-3x^2-2x^4)\(X^2-1)^2=(X^4-3X^2)\(X^2-1)^2

 

y`=0   x=0 или x=+_корень из 3

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с этой задачей. У вас есть функция \( y = \frac{x^3}{x^2-1} \), и вам нужно найти производную \( y' \), приравнять ее к нулю, определить интервалы возрастания и убывания функции, найти дополнительные точки и, возможно, нарисовать график.

1. Найдем производную \( y' \): \[ y = \frac{x^3}{x^2-1} \]

Для нахождения производной воспользуемся правилом деления и цепного правила: \[ y' = \frac{(x^2-1) \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} \]

Упростим числитель: \[ y' = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2-1)^2} \] \[ y' = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2} \]

2. Приравняем \( y' \) к нулю и найдем критические точки: \[ x^4 - 3x^2 = 0 \]

Решим уравнение: \[ x^2(x^2 - 3) = 0 \]

Получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = \sqrt{3} \).

3. Определим интервалы возрастания и убывания. Для этого выберем тестовые точки в интервалах между критическими точками и за пределами:

- Возьмем \( x = -\infty \): Подставим \( x = -\infty \) в \( y' \): Если \( x = -\infty \), то \( x^4 \) и \( -3x^2 \) оба стремятся к положительной бесконечности. Так что \( y' > 0 \) при \( x = -\infty \).

- Возьмем \( x = -1 \): Подставим \( x = -1 \) в \( y' \): Получаем \( y' = \frac{4}{0} \), что неопределено. Но заметим, что \( x^2 - 1 = 0 \) при \( x = -1 \), поэтому \( x = -1 \) - это точка разрыва.

- Возьмем \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \): Подставим \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) в \( y' \): Получаем \( y' = \frac{0}{-\frac{2}{3}} = 0 \). Таким образом, на интервале \( \left(-\infty, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) функция возрастает.

- Возьмем \( x = \sqrt{3} \): Подставим \( x = \sqrt{3} \) в \( y' \): Получаем \( y' = \frac{0}{0} \), что также неопределено. Но заметим, что \( x^2 - 1 = 2 \) при \( x = \sqrt{3} \), поэтому \( x = \sqrt{3} \) - это точка разрыва.

- Возьмем \( x = \infty \): Подставим \( x = \infty \) в \( y' \): Если \( x = \infty \), то \( x^4 \) и \( -3x^2 \) оба стремятся к положительной бесконечности. Так что \( y' > 0 \) при \( x = \infty \).

Итак, у нас есть интервалы возрастания: \( \left(-\infty, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) и \( (\sqrt{3}, \infty) \).

4. Теперь нарисуем график функции. Для этого нужно учитывать точки разрыва, асимптоты и поведение функции на интервалах возрастания и убывания. В данном случае, так как у нас есть точки разрыва, график будет иметь разрывы в этих точках.

Я рекомендую использовать программу для построения графиков, такую как Desmos, GeoGebra или любую другую по вашему выбору. Вы сможете ввести уравнение функции и увидеть ее график с учетом всех вышеуказанных особенностей.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.