Question

Найти асимптоты функции у= кубический корень из 3х-х^3

Answer 1

Вертикальных асимптот нет, функция непрерывна на всей числовой оси.

Невертикальная асимптота y = -x:
$y=\sqrt[3]{3x-x^3}=-x\sqrt[3]{1-\dfrac3{x^2}}\stackrel{x\to\infty}\longrightarrow-x$

Answer 2

Для нахождения асимптот функции \(y = \sqrt[3]{3x - x^3}\) нужно рассмотреть два вида асимптот: вертикальные и горизонтальные.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты возникают тогда, когда знаменатель функции стремится к нулю. Рассмотрим функцию:

\[y = \sqrt[3]{3x - x^3}\]

Если подставить \(x = 0\), получится:

\[y = \sqrt[3]{0} = 0\]

Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота при \(x = 0\).

Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты возникают тогда, когда значение функции стремится к конечному пределу при \(x\) стремящемся к бесконечности. Рассмотрим предел функции при \(x\) стремящемся к бесконечности:

\[\lim_{{x \to \infty}} \sqrt[3]{3x - x^3}\]

Чтобы решить этот предел, мы можем использовать правило Лопиталя, которое гласит, что если предел отношения двух функций \(f(x)/g(x)\) при \(x \to \infty\) или \(x \to -\infty\) равен бесконечности или неопределенности вида \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то предел отношения равен пределу отношения производных этих функций:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

В нашем случае:

\[f(x) = \sqrt[3]{3x - x^3}\]

\[g(x) = x\]

Теперь найдем производные:

\[f'(x) = \frac{1}{3} (3x - x^3)^{-2/3} \cdot (3 - 3x^2)\]

\[g'(x) = 1\]

Теперь подставим в формулу для правила Лопиталя:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{3} (3x - x^3)^{-2/3} \cdot (3 - 3x^2)}{1}\]

После упрощения получаем:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{3} (3 - 3x^2)(3x - x^3)^{-2/3}\]

Этот предел равен 0. Таким образом, у нас нет горизонтальных асимптот при \(x\) стремящемся к бесконечности.

Итак, у функции \(y = \sqrt[3]{3x - x^3}\) есть вертикальная асимптота при \(x = 0\), но нет горизонтальных асимптот.