Question

Найти значение производной функции в точке x0y=2sinx - 4x, x0= П/3

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для нахождения значения производной функции в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) требуется найти производную данной функции и затем подставить значение \( x_0 \) в полученное выражение.

Имеем функцию \( y = 2 \sin(x) - 4x \). Чтобы найти производную этой функции, используем правила дифференцирования элементарных функций:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \sin(x) - 4x) \]

Производная синуса равна косинусу: \( \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \). Производная константы умноженной на функцию равна константе, умноженной на производную функции: \( \frac{d}{dx} (c \cdot f(x)) = c \cdot \frac{d}{dx} f(x) \). Производная постоянного члена равна нулю: \( \frac{d}{dx} (-4x) = -4 \).

Собирая все вместе, получим производную функции \( y \):

\[ \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx} \sin(x) - \frac{d}{dx} (4x) = 2 \cos(x) - 4 \]

Теперь нужно вычислить значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \):

\[ \frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=\frac{\pi}{3}} = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - 4 \]

Угол \( \frac{\pi}{3} \) соответствует \( 60^\circ \), где значение косинуса равно \( \frac{1}{2} \):

\[ \frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 1 - 4 = -3 \]

Итак, значение производной функции \( y = 2 \sin(x) - 4x \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) равно \( -3 \).