Question

Найдите промежуток [a, b], на котором функция f (x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 убывает.

Answer 1

Найдём первую производную.
y`= 3x^2+6x-9 = 3(x^2+2x-3)
Приравниваем производную к нулю и найдём экстремумы функции.
3(x^2+2x-3)=0 | :3
x^2+2x-3=0
По т. Виета найдём корни.
x1=-3
x2=1

Отметим точки на числовой прямой
               +                             -                                +
_______________|________________|______________
                             -3                               1 
Согласно определению производной функция убывает, если f`($x_{0}$) < 0
И возрастает если f`($x_{0}$) > 0
Таким образом заключает вывод, что функция убывает на отрезке (-3;1)
Ответ: (-3;1)

Answer 2

Для того чтобы найти промежуток, на котором функция убывает, нам необходимо проанализировать ее производную. Если производная функции отрицательна на определенном промежутке, то это означает, что функция убывает на этом промежутке.

Давайте найдем производную функции f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 7. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:

f'(x) = (d/dx)(x^3) + (d/dx)(3x^2) – (d/dx)(9x) + (d/dx)(7)

Производная степенной функции x^n, где n - константа, равна n*x^(n-1). Применяя это правило, получим:

f'(x) = 3x^2 + 6x – 9

Теперь мы можем решить неравенство f'(x) < 0, чтобы найти промежутки, на которых функция убывает. Для этого найдем корни уравнения f'(x) = 0:

3x^2 + 6x – 9 = 0

Используя квадратное уравнение, получим:

x = (-6 ± √(6^2 - 4*3*(-9))) / (2*3)

x = (-6 ± √(36 + 108)) / 6

x = (-6 ± √144) / 6

x = (-6 ± 12) / 6

Таким образом, получаем два корня:

x1 = (-6 + 12) / 6 = 1 x2 = (-6 - 12) / 6 = -3

Теперь мы можем построить таблицу знаков для f'(x) и определить промежутки, на которых она отрицательна:

x < -3: f'(-4) = 3*(-4)^2 + 6*(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 -3 < x < 1: f'(0) = 3*(0)^2 + 6*(0) - 9 = -9 < 0 x > 1: f'(2) = 3*(2)^2 + 6*(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0

Из таблицы знаков видно, что функция убывает на промежутке -3 < x < 1. Таким образом, ответом на ваш вопрос является промежуток [-3, 1], на котором функция f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 7 убывает.