Question

1) 5х+ 1/3 =2/5+х , 2) √5+cos х=√6 sin х

Answer 1

2)

Упростить уравнение,используя универсальную тригонометрическую подстановку:

$\sqrt{5}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\sqrt{6}*\frac{2t}{1+t^{2}}$;

Решить уравнение относительно t:

$t=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}\\ t=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4}$;

Сделать обратную подстановку t=tg($\frac{x}{2}$):

$tg(\frac{x}{2}$)=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}\\

tg(\frac{x}{2} )=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4} [/tex];

Решить уравнение относительно x:

x=2arctg($\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$)+2kπ,k∈Z

x=2arctg($\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4}$)+2kπ,k∈Z;

Поскольку универсальная замена переменной может быть использована только если x≠π+2kπ,k∈Z,то необходимо проверить является ли x=π+2kπ,k∈Z также решением уравнения:

$\sqrt{5}+cos(\pi+2k\pi)=\sqrt{6}*sin(\pi+2k\pi)$;

Упростить выражение,используя cos(+-2*k*π)=cos(t),k∈Z:

$\sqrt{5}+cos(\pi)=\sqrt{6}*sin(\pi)$;

Упростить равенство:

1,23607=0;

π+2kπ,k∈Z не является решением,следовательно,его не нужно добавлять:

x=2arctg($\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$)+2kπ,k∈Z

x=2arctg($\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4}$)+2kπ,k∈Z;

Ответ:$x= \left \{ {{x=2arctg(\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4})+2k\pi} \atop {x=2arctg(\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4})+2k\pi}} \right. ,keZ$

Answer 2

Я не уверен, что это правильно

Answer 3

Давайте решим каждое уравнение по порядку.

1) \(5x + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} + x\)

Сначала преобразим уравнение, чтобы избавиться от дробей. Умножим все члены уравнения на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5):

\[15 \cdot (5x + \frac{1}{3}) = 15 \cdot (\frac{2}{5} + x)\]

\[15 \cdot 5x + 15 \cdot \frac{1}{3} = 15 \cdot \frac{2}{5} + 15x\]

\[75x + 5 = 6 + 15x\]

Теперь выразим \(x\):

\[75x - 15x = 6 - 5\]

\[60x = 1\]

\[x = \frac{1}{60}\]

Таким образом, решение первого уравнения \(x = \frac{1}{60}\).

2) \(\sqrt{5} + \cos x = \sqrt{6} + \sin x\)

Перенесем все члены с тригонометрическими функциями на одну сторону, а числовые значения на другую:

\[\sqrt{5} - \sqrt{6} = \sin x - \cos x\]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, например, \(\sin x - \cos x = -\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\). Заменим \(\sin x - \cos x\) этим выражением:

\[\sqrt{5} - \sqrt{6} = -\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\]

Теперь выразим \(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\):

\[\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{5} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}}\]

Это уравнение имеет множество решений, так как синус периодичен. Обычно задают ограничения на интервале \([0, 2\pi)\) или \([-180^\circ, 180^\circ)\). Если нужен конкретный интервал, уточните, пожалуйста.