Question

БУДЬ ЛАСКА ПОМОЖІТЬ!!!! ДОСЛІДИТИ ФУНКЦІЮ: f(x)=3x-x^2 1)D(f) 2)Похідна функції:f'(x) 3)Критичні точки функції:f'(x)=0 4)Знаки похідної 5)Точки екстремуму( локальні max,min) 6)Висновок

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

ДОСЛІДИТИ ФУНКЦІЮ: f(x)=3x-x^2

1)D(f) =R

2)Похідна функції:f'(x) =3-2x

3)Критичні точки функції:f'(x)=0; 3-2x=0; 2x=3; x=3/2; x=1,5

4)Знаки похідної

при x<1,5 например х=0  f'(x) =3>0 ⇒ f'(x) >0

при x>1,5 например х=2  f'(x) =3-4=-1<0 ⇒ f'(x) <0

5) точцi екстремуму ( локальні max,min)  

в точці х=1,5 экстремум (максимум)

6)  Висновок

при x<1,5    f'(x) >0 ⇒ функція зростає

при x<1,5    f'(x) <0 ⇒ функція убуває

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо задану функцію та виконаємо ряд досліджень:

1. Функція: \( f(x) = 3x - x^2 + 1 \)

2. Похідна функції: \( f'(x) \)

Щоб знайти похідну функції \( f(x) \), візьмемо похідну кожного члена виразу за відношенням до \( x \):

\[ f'(x) = 3 - 2x \]

3. Критичні точки функції: \( f'(x) = 0 \)

Розв'яжемо рівняння \( 3 - 2x = 0 \) для знаходження критичних точок:

\[ 2x = 3 \] \[ x = \frac{3}{2} \]

Отже, критична точка \( x = \frac{3}{2} \).

4. Знаки похідної:

Для визначення знаків похідної візьмемо тестові точки ліворуч і праворуч від критичної точки \( x = \frac{3}{2} \).

- Ліворуч від \( \frac{3}{2} \): Виберемо \( x = 1 \) (наприклад). \[ f'(1) = 3 - 2(1) = 1 \] Таким чином, похідна додатня ліворуч від \( \frac{3}{2} \).

- Праворуч від \( \frac{3}{2} \): Виберемо \( x = 2 \) (наприклад). \[ f'(2) = 3 - 2(2) = -1 \] Таким чином, похідна від'ємна праворуч від \( \frac{3}{2} \).

5. Точки екстремуму (локальні максимуми та мінімуми):

Оскільки зміна знаку похідної від плюсу до мінусу, ми маємо локальний максимум у точці \( x = \frac{3}{2} \).

6. Висновок:

Функція \( f(x) = 3x - x^2 + 1 \) має критичну точку \( x = \frac{3}{2} \) і локальний максимум у цій точці. Її графік буде мати параболічну форму з вершиною у точці \( x = \frac{3}{2} \), де значення функції досягає локального максимуму.