Question

Найти точки экстремума функции f(x) = 2x(в кубе) + 3x(в квадрате) - 36x -1

Answer 1

Берем первую производную и приравниваем к нулю - это критические точки.
Берем вторую производную, приравнимаем к нулю - это точки перегиба. Критические точки, не являющиеся точками перегиба - экстремумы

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 1 \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f'(x) \). 2. Решить уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек. 3. Использовать вторую производную \( f''(x) \) для определения характера точек (минимум, максимум или точка перегиба).

Шаг 1: Найти производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 + 6x - 36 \]

Шаг 2: Решить уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]

Решив это квадратное уравнение, мы получим значения \( x \), которые соответствуют критическим точкам.

Шаг 3: Использовать вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = 12x + 6 \]

Теперь давайте выполним каждый из этих шагов.

Шаг 2: Решение уравнения \( f'(x) = 0 \): \[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]

Для упрощения делим обе стороны на 6: \[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Факторизуем уравнение: \[ (x + 3)(x - 2) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два значения \( x \): \( x = -3 \) и \( x = 2 \).

Шаг 3: Использовать вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = 12x + 6 \]

Теперь подставим найденные значения \( x = -3 \) и \( x = 2 \) во вторую производную:

- При \( x = -3 \): \( f''(-3) = 12(-3) + 6 = -36 + 6 = -30 \) - При \( x = 2 \): \( f''(2) = 12(2) + 6 = 24 + 6 = 30 \)

Теперь мы можем сделать выводы:

- Если \( f''(x) < 0 \), то точка является максимумом. - Если \( f''(x) > 0 \), то точка является минимумом. - Если \( f''(x) = 0 \), тогда тест не дает информации.

Таким образом, для \( x = -3 \), \( f''(-3) < 0 \), что означает, что у нас есть максимум. Для \( x = 2 \), \( f''(2) > 0 \), что означает, что у нас есть минимум.

Таким образом, у функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 1 \) есть точка максимума при \( x = -3 \) и точка минимума при \( x = 2 \).