Question

Сколько целых решений имеет уравнение |3x2−2x−1|+|2x2−x−1|=|x2−x|

Answer 1

$|3x^2-2x-1|+|2x^2-x-1|=|x^2-x|$

Это уравнение имеет вид |a|+|b|=|a-b|, а оно, как известно, равносильно неравенству $a\cdot b\le 0.$

$(3x^2-2x-1)\cdot (2x^2-x-1)\le 0;\ (x-1)(3x+1)(x-1)(2x+1)\le 0;$

$(x-1)^2(3x+1)(2x+1)\le 0;$

метод интервалов дает ответ

$[-\frac{1}{2};-\frac{1}{3}]\cup\{1\}.$

Поэтому исходное уравнение имеет одно целое решение.

Ответ: 1

Answer 2

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

Имеем уравнение:

\[ |3x^2 - 2x - 1| + |2x^2 - x - 1| = |x^2 - x| \]

1. Рассмотрим случай \(x^2 - x \geq 0\): В этом случае модули в правой части уравнения могут быть убраны.

\[ 3x^2 - 2x - 1 + 2x^2 - x - 1 = x^2 - x \]

Упростим уравнение:

\[ 5x^2 - 3x - 2 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 5\), \(b = -3\), и \(c = -2\).

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{10} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{10} \]

\[ x = \frac{3 \pm 7}{10} \]

Таким образом, получаем два решения:

- \( x = \frac{10}{10} = 1 \) - \( x = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \)

2. Рассмотрим случай \(x^2 - x < 0\): В этом случае модуль в правой части уравнения можно записать как \(-(x^2 - x)\).

\[ |3x^2 - 2x - 1| + |2x^2 - x - 1| = -(x^2 - x) \]

Рассмотрим левую часть уравнения: - При \(3x^2 - 2x - 1 > 0\) и \(2x^2 - x - 1 > 0\), уравнение станет: \[ (3x^2 - 2x - 1) + (2x^2 - x - 1) = -(x^2 - x) \] - При \(3x^2 - 2x - 1 < 0\) и \(2x^2 - x - 1 < 0\), уравнение станет: \[ -(3x^2 - 2x - 1) - (2x^2 - x - 1) = -(x^2 - x) \]

В обоих случаях, упрощая, мы приходим к уравнению:

\[ -x^2 + 4x = 0 \]

Факторизуем:

\[ -x(x - 4) = 0 \]

Получаем два дополнительных решения: - \( x = 0 \) - \( x = 4 \)

Таким образом, у уравнения \[ |3x^2 - 2x - 1| + |2x^2 - x - 1| = |x^2 - x| \] есть четыре целых решения: \(x = -\frac{2}{5}, 1, 0, 4\).