Question

Cos 2x -7cos^2 x +4=0 Решите уравнение

Answer 1

2cos²x - 1 - 7cos²x + 4 = 0
5cos²x = 3
cos²x = 3/5
cosx = + - √(3/5)
x = + - arccos√(3/5)        x = + - (π - arccos√(3/5))

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать подходящую тригонометрическую замену. Предлагаю заменить косинусы квадраты и двойные углы с помощью тригонометрических тождеств.

1. Замена косинуса квадрата: Заменим косинус квадрата на выражение с использованием базового тригонометрического тождества: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Уравнение примет вид: cos(2x) - 7(1 + cos(2x)) / 2 + 4 = 0

2. Замена двойного угла: Заменим косинус двойного угла с помощью формулы: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это в уравнение: 2cos^2(x) - 1 - 7(1 + 2cos^2(x) - 1) / 2 + 4 = 0

3. Упрощение и приведение подобных слагаемых: Раскроем скобки и упростим уравнение: 2cos^2(x) - 1 - (7/2 + 7cos^2(x) - 7/2) + 4 = 0 2cos^2(x) - 1 - 7/2 - 7cos^2(x) + 7/2 + 4 = 0 -5cos^2(x) + 3/2 = 0

4. Решение квадратного уравнения: Уравнение примет вид: -5cos^2(x) + 3/2 = 0

Умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от дроби: 10cos^2(x) - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней.

Дискриминант (D) квадратного уравнения равен: D = b^2 - 4ac где a = 10, b = 0, c = -3.

Подставим значения и рассчитаем дискриминант: D = 0 - 4 * 10 * (-3) = 120

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных вещественных корня.

5. Нахождение корней: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения и рассчитаем корни: x = (0 ± √120) / (2 * 10)

Раскроем эту формулу: x = ±√3 / 2

Таким образом, уравнение имеет два корня: x = √3 / 2 и x = -√3 / 2

Таким образом, решением данного уравнения являются значения x = √3 / 2 и x = -√3 / 2.