Question

Разбейте число 186 на три неравных друг другу натуральных слагаемых, сумма любых двух из которых делится на третье. Какое меньшее число?

Answer 1

A+b+c=186, a+b=k*c, b+c=n*a, c+a=m*b; в последние три уравнения подставляем выражение для суммы из первого: a+b=186-c; a+c=186-b; b+c=186-a;k=(186-c)/c; n=(186-a)/a; m=(186-b)/bПоскольку a,b,c,k,n,m - натуральные, то a,b и с - делители 186. 186=3*2*31. Единственный вариант, когда сумма различных делителей 186 будет равна 186: a=31, b=2*31=62, c=3*31=93Ответ: 31, 62, 93

Answer 2

Давайте обозначим три неравных друг другу натуральных слагаемых как \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда у нас есть следующая система уравнений:

\[ \begin{align*} a + b + c &= 186 \\ a + b &\equiv 0 \pmod{c} \\ a + c &\equiv 0 \pmod{b} \\ b + c &\equiv 0 \pmod{a} \\ \end{align*} \]

Мы ищем минимальное значение \(a\), \(b\) и \(c\). Давайте рассмотрим различные варианты.

1. Пусть \(a = 1\). Тогда из уравнения \(a + b + c = 186\) следует, что \(b + c = 185\). Но теперь \(b + c\) не делится на 1.

2. Пусть \(a = 2\). Тогда \(b + c = 184\). Снова не подходит.

3. Пусть \(a = 3\). Тогда \(b + c = 183\). Также не подходит.

4. Пусть \(a = 4\). Тогда \(b + c = 182\). Снова не подходит.

5. Пусть \(a = 5\). Тогда \(b + c = 181\). Также не подходит.

6. Пусть \(a = 6\). Тогда \(b + c = 180\). Это уже интересно. Мы видим, что \(b\) и \(c\) могут быть 90 и 90 соответственно.

Таким образом, минимальное значение \(a\) для данной задачи равно 6, а слагаемые \(a\), \(b\) и \(c\) равны 6, 90 и 90 соответственно.