Question

Как решать системы уравнений с двумя переменными?

Answer 1

Например:

2y + 3x = 8
x + y = 3

Нам надо избавиться от одной из переменных, пусть это будет y.

2y + 3x = 8
-2x - 2y = -6

Складываем одно уравнение с другим

2y + (-2y) + 3x + (-2x) = 8 + (-6)

Отсюда:

x=2

Подставляем x в любое из выражений и находим y

2 + y = 3
y=1

Ответ: x = 2; y = 1

Answer 2

Решение систем уравнений с двумя переменными может быть выполнено различными методами, такими как метод подстановки, метод равных коэффициентов или метод матриц. Давайте рассмотрим каждый из них подробнее.

1. Метод подстановки:

Этот метод заключается в том, чтобы выразить одну из переменных из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение. Затем решается полученное уравнение для нахождения значения одной переменной, которое затем подставляется в исходные уравнения.

Пример: Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{align*} 2x + 3y &= 12 \quad \quad \quad \quad \quad (1) \\ 4x - 2y &= 2 \quad \quad \quad \quad \quad (2) \end{align*} \]

Исключим переменную \( x \) из уравнения (2): \[ 4x - 2y = 2 \implies x = \frac{2 + 2y}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y \]

Подставим это выражение для \( x \) в уравнение (1): \[ 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}y\right) + 3y = 12 \]

Решив это уравнение, найдем значение \( y \), которое затем подставим обратно для нахождения \( x \).

2. Метод равных коэффициентов:

В этом методе мы умножаем оба уравнения на такие множители, чтобы коэффициент при одной из переменных в обоих уравнениях стал одинаковым. Затем вычитаем одно уравнение из другого для исключения одной переменной.

Пример: Рассмотрим ту же систему уравнений: \[ \begin{align*} 2x + 3y &= 12 \quad \quad \quad \quad \quad (1) \\ 4x - 2y &= 2 \quad \quad \quad \quad \quad (2) \end{align*} \]

Умножим уравнение (1) на 2 и уравнение (2) на 1, чтобы сделать коэффициент при \( x \) одинаковым: \[ \begin{align*} 4x + 6y &= 24 \quad \quad \quad \quad \quad (3) \\ 4x - 2y &= 2 \quad \quad \quad \quad \quad (4) \end{align*} \]

Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3) и решим полученное уравнение для нахождения \( y \). Затем найденное значение \( y \) подставим обратно в одно из исходных уравнений для нахождения \( x \).

3. Метод матриц:

Этот метод использует матрицы и векторы для записи системы уравнений в компактной форме. Решение системы уравнений сводится к умножению обратной матрицы на вектор свободных членов.

Пример: Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{align*} 2x + 3y &= 12 \quad \quad \quad \quad \quad (1) \\ 4x - 2y &= 2 \quad \quad \quad \quad \quad (2) \end{align*} \]

Система может быть записана в матричной форме \( AX = B \), где \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 12 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Решение системы уравнений тогда выражается как \( X = A^{-1}B \), где \( A^{-1} \) - обратная матрица к \( A \).

Выбор метода зависит от конкретной системы уравнений и предпочтений решателя.