Question

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 40 см, а висота, проведена до основи, – 32 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

Answer 1

Пусть а - боковая сторона, b - основание, h - высота.

Высота равнобедренного треугольника является также медианой, а значит делит основание b на две равные части.

Половину основания можем найти с помощью теоремы Пифагора:
$\frac{b}{2}= \sqrt{40^2-32^2}= \sqrt{576}=24$ см
b=24*2=48 см

Радиус описанной окружности находим по формуле:
 $R= \frac{a^2}{ \sqrt{(2a)^2-b^2} }= \frac{40^2}{ \sqrt{(80)^2-48^2} }= \frac{1600}{ \sqrt{4096} } = \frac{1600}{64}= 25$  см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі можна скористатися властивостями рівнобедреного трикутника та кола, описаного навколо нього. Важливо знати, що в рівнобедреному трикутнику бічна сторона (основа) і дві бічні сторони (бічні сторони), які є рівними, а також висота, проведена до основи, розділяє основу на дві рівні частини.

Позначимо бічну сторону трикутника як \( a \) (основа), висоту як \( h \) (висота, проведена до основи), а бічні сторони як \( b \) (бічна сторона, яка не є основою). За властивостями рівнобедреного трикутника маємо:

\[ a = b \]

Також використаємо факт, що висота, проведена до основи, розділяє основу на дві рівні частини. Отже, \( a \) розділена на \( \frac{a}{2} \) та \( \frac{a}{2} \).

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику \(ABC\) (де \(C\) - вершина прямого кута, а \(AB\) і \(BC\) - катети) відношення між гіпотенузою \(AC\), катетами \(AB\) і \(BC\) визначається рівнянням:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

В нашому випадку:

\[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \]

Тепер врахуємо, що бічна сторона трикутника є радіусом кола, описаного навколо трикутника. Таким чином, радіус кола \( R \) дорівнює \( b \).

Отже, ми маємо два рівняння:

\[ a = b \] \[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \]

Підставимо \( a = b \) у друге рівняння:

\[ b^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2 \]

Розв'яжемо це рівняння відносно \( b \). Після розв'язання отримаємо значення бічної сторони \( b \), яке буде рівним радіусу кола \( R \).