Question

Кокое число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму? Надо решить через производную!

Answer 1

909.....................

Answer 2

Чтобы найти число, при сложении с обратным которого сумма минимальна, давайте предположим, что данное число обозначается как \( x \). Тогда его обратное число будет \( \frac{1}{x} \). Сумма этих двух чисел равна \( x + \frac{1}{x} \).

Теперь мы можем воспользоваться производной, чтобы найти минимум этой функции. Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) и найдем её производную.

\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \]

Чтобы найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует), приравняем производную к нулю:

\[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \]

Умножим обе стороны на \( x^2 \):

\[ x^2 - 1 = 0 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Таким образом, у нас две критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Чтобы определить, является ли каждая из них минимумом или максимумом, мы можем воспользоваться второй производной или тестом знаков.

Найдем вторую производную:

\[ f''(x) = \frac{2}{x^3} \]

Теперь подставим значения \( x = 1 \) и \( x = -1 \) во вторую производную:

\[ f''(1) = 2 \] \[ f''(-1) = -2 \]

Если вторая производная положительна, то это минимум, если отрицательна - максимум. Таким образом, у нас есть минимум при \( x = 1 \) и максимум при \( x = -1 \).

Таким образом, минимальная сумма достигается при \( x = 1 \) (или \( \frac{1}{x} = 1 \)), и эта сумма равна 2.