Question

Найдите точку минимума функции у=(x² – 5x + 5)e7–x

Answer 1

Y`=(2x-5)e^7-x -(x²-5x+5)e^7-e^7-x *(2x-5-x²+5x-5)=e^7-x *(-x²+7x-10)=0
x²-7x+10=0
x1+x2=7 U x1*x2=10⇒x1=2 U x2=5
             _                        +                    _
________________________________________
                       2                            5
                         min                        max
ymin(2)=(4-10+5)e^5=-e^5
(2;-e^5)

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции у=(x²– 5x + 5)e^(7–x), необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Для начала найдем производную функции y по переменной x, используя правило производной произведения функций и правило дифференцирования сложной функции: y' = (2x - 5)e^(7-x) + (x^2 - 5x + 5)(-e^(7-x))

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: (2x - 5)e^(7-x) + (x^2 - 5x + 5)(-e^(7-x)) = 0

Раскроем скобки: (2x - 5)e^(7-x) - (x^2 - 5x + 5)e^(7-x) = 0

Сократим на общий множитель e^(7-x): (2x - 5) - (x^2 - 5x + 5) = 0

Раскроем скобки: 2x - 5 - x^2 + 5x - 5 = 0

Разложим по степеням: -x^2 + 7x - 10 = 0

Перенесем все выражения в левую часть уравнения: -x^2 + 7x - 10 = 0

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*(-1)*(-10) = 49 - 40 = 9

Найдем корни уравнения: x1 = (-b + √D) / 2a = (7 + √9) / (-2) = (7 + 3) / (-2) = 5 / (-2) = -2.5 x2 = (-b - √D) / 2a = (7 - √9) / (-2) = (7 - 3) / (-2) = 4 / (-2) = -2

Таким образом, получаем два значения x: -2.5 и -2. Подставим их в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

y(-2.5) = ((-2.5)^2 - 5*(-2.5) + 5)e^(7-(-2.5)) y(-2) = ((-2)^2 - 5*(-2) + 5)e^(7-(-2))

Подсчитаем значения: y(-2.5) ≈ 2.82 y(-2) ≈ 3.85

Таким образом, точки минимума функции у=(x²– 5x + 5)e^(7–x) равны (-2.5, 2.82) и (-2, 3.85).