Question

Нужно решить это : 2*5^(2x)=5^(x)+1 и 4^(x-1)+4^(x)+4^(x+1)=84

Answer 1

$2\cdot5^{2x}=5^x+1\\2\cdot5^{2x}-5^x-1=0\\5^x=t,\;5^{2x}=t^2,\;t>0\\2t^2-t-1=0\\D=1+4\cdot2=9\\t_{1,2}=\frac{1\pm3}4\\t_1=-\frac12\;-\;He\;nogx.\\t_2=1\\5^x=1\Rightarrow x=0\\\\\\4^{x-1}+4^x+4^{x+1}=84\\\frac14\cdot4^x+4^x+4\cdot4^x=84\\\frac{21}44^x=84\\4^x=84:\frac{21}4=84\cdot\frac4{21}=4\cdot4=4^2\\x=2$

Answer 2

........................

Answer 3

Давайте решим эти два уравнения по очереди.

Уравнение 1: 2*5^(2x) = 5^(x) + 1

Для начала, давайте преобразуем это уравнение, чтобы у нас был одинаковый базис для экспоненты. Мы знаем, что 5 = 5^1, поэтому мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

2 * (5^2)^x = 5^x + 1

Теперь мы можем использовать свойство экспоненты, которое гласит, что (a^b)^c = a^(b*c). Применяя это свойство, мы получаем:

2 * 5^(2*x) = 5^x + 1

Теперь у нас есть одинаковый базис 5^x, поэтому мы можем приравнять показатели степени:

2 * 2x = x + 1

Упрощая это уравнение, мы получаем:

4x = x + 1

Вычитаем x из обеих сторон:

3x = 1

Теперь делим обе стороны на 3:

x = 1/3

Таким образом, решение первого уравнения равно x = 1/3.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

4^(x - 1) + 4^x + 4^(x + 1) = 84

Сначала давайте преобразуем это уравнение, чтобы у нас был одинаковый базис для экспоненты. Мы знаем, что 4 = 2^2, поэтому мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

(2^2)^(x - 1) + (2^2)^x + (2^2)^(x + 1) = 84

Используя свойство экспоненты, мы получаем:

2^(2*(x - 1)) + 2^(2*x) + 2^(2*(x + 1)) = 84

Теперь у нас есть одинаковый базис 2^x, поэтому мы можем приравнять показатели степени:

2^(2*(x - 1)) + 2^(2*x) + 2^(2*(x + 1)) = 84

Теперь мы можем применить свойство экспоненты, которое гласит, что a^b * a^c = a^(b + c):

2^(2*x - 2) + 2^(2*x) + 2^(2*x + 2) = 84

Теперь у нас есть одинаковый базис 2^(2*x), поэтому мы можем приравнять показатели степени:

2^(2*x - 2) + 2^(2*x) + 2^(2*x + 2) = 84

Теперь мы можем преобразовать это уравнение, чтобы у нас был одинаковый базис 2:

(2^(-2)) * 2^(2*x) + 2^(2*x) + (2^2) * 2^(2*x) = 84

Упрощая это уравнение, мы получаем:

1/4 * 2^(2*x) + 2^(2*x) + 4 * 2^(2*x) = 84

Теперь давайте объединим все слагаемые с базисом 2^(2*x):

(1/4 + 1 + 4) * 2^(2*x) = 84

Упрощаем:

17/4 * 2^(2*x) = 84

Теперь давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на 4/17:

2^(2*x) = 84 * 4/17

Упрощаем:

2^(2*x) = 336/17

Теперь мы можем применить логарифмы для решения этого уравнения. Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих сторон:

log2(2^(2*x)) = log2(336/17)

2*x * log2(2) = log2(336/17)

Так как log2(2) = 1, упрощаем:

2*x = log2(336/17)

Теперь делим обе стороны на 2:

x = (1/2) * log2(336/17)

Таким образом, решение второго уравнения равно x = (1/2) * log2(336/17).

Решение:

Первое уравнение: x = 1/3 Второе уравнение: x = (1/2) * log2(336/17)