Question

В геометрической прогрессии сумма первого второго члена равна 75,а сумма второго и третьего членов равна 150. найдите первые три челена этой прогрессии

Answer 1

Каждый член геометрической прогрессии можно выразить через первый член.
bn=b1qn-1
Тогда b2=b1q2-1=b1q
По условию:
1) b1+b2=75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(q+q2)=150
b1(q+1)q=150
Подставляем из п.
1) 75q=150 => q=2, тогда b1(1+2)=75 => b1=25 b2=25*2=50 b3=25*22=100 Ответ: b1=25, b2=50, b3=100

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через \(a\), а знаменатель - через \(q\). Тогда второй член будет равен \(aq\), а третий - \(aq^2\).

Условие задачи гласит, что сумма первого и второго членов равна 75: \[ a + aq = 75 \]

А также, что сумма второго и третьего членов равна 150: \[ aq + aq^2 = 150 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(a\) и \(q\). Решим эту систему.

Сначала рассмотрим уравнение \( a + aq = 75 \). Вынесем \(a\) за скобку: \[ a(1 + q) = 75 \]

Теперь рассмотрим уравнение \( aq + aq^2 = 150 \). Также вынесем \(a\) за скобку: \[ aq(1 + q) = 150 \]

Теперь мы видим, что оба уравнения содержат \(1 + q\). Мы можем поделить одно уравнение на другое, чтобы избавиться от \(a\): \[ \frac{a(1 + q)}{aq(1 + q)} = \frac{75}{150} \]

Упростим дробь, сократив \(1 + q\): \[ \frac{1}{q} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем значение \(q\): \[ q = 2 \]

Теперь, когда у нас есть значение \(q\), мы можем подставить его обратно в любое из начальных уравнений. Давайте подставим его в первое уравнение \( a + aq = 75 \): \[ a + a(2) = 75 \] \[ a + 2a = 75 \] \[ 3a = 75 \] \[ a = 25 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии \(a\) равен 25, а знаменатель \(q\) равен 2.

Теперь мы можем найти первые три члена прогрессии: 1. Первый член (\(a\)): 25 2. Второй член (\(aq\)): \(25 \times 2 = 50\) 3. Третий член (\(aq^2\)): \(25 \times 2^2 = 100\)

Итак, первые три члена геометрической прогрессии равны 25, 50 и 100.