Question

Помогите пожалуйста решить неравенства: 1) |x-7|>0; 2) |x-4|<3; 3) |2+x|≦3; 4) |x+3|>2; 5) |x-4| ≧3; 6) |x+2| ≧ Заранее спасибо!

Answer 1

1)  I x-7 I >0      a)  x-7>0  ⇒ x>7  ⇒     x∈(7;∞)
                         b)  x-7<0  ⇒ x<0   ⇒    x∈(-∞;7)
     Ответ:   x ≠7  или   x∈(-∞;7) U (7;∞)
2) I x-4 I <3    ⇒ -3<x-4<3   ⇒ 1<x<7)    или  x∈(1;7)
3)  I 2+x I≤3   ⇒  -3≤2+x≤3  ⇒ -5≤x≤1            x∈[-5;1]
4)  I x+3 I >2    a) x+3>2   ⇒ x> -1                  x∈(-1;∞)
                        b) x+3<-2  ⇒ x< -5                  x∈(-∞;-5)
      Ответ:   x ∈ (-∞;-5) U (-1;∞)
5)  I x-4 I ≥3     a) x-4≥3  ⇒ x≥7                       x∈[7;∞)
                        b) x-4≤ -3  ⇒ x≤1                     x∈(-∞;1]
       Ответ:   x ∈ (-∞;1] U [7;∞)
6)  I x+a I ≥ b    a∈R ; b≥0 
                        a)  x+a≥b    x≥b-a          x∈[b-a;∞)
                        b)  x+a≤-b   x≤ -a-b        x∈(-∞; -a-b]
        Ответ:    x ∈ (-∞;-a-b] U [b-a;∞)    

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1) \( |x-7| > 0 \)

Это неравенство верно для любого значения \( x \), потому что абсолютное значение числа всегда неотрицательно, и оно равно нулю только в том случае, если само число равно нулю. Так что решение этого неравенства - любое значение \( x \).

2) \( |x-4| < 3 \)

Это неравенство означает, что расстояние между \( x \) и 4 должно быть меньше 3. Это можно представить как интервал от \( x = 1 \) до \( x = 7 \), так как \( x \) может быть на расстоянии не более 3 от 4.

3) \( |2+x| \leq 3 \)

Это неравенство означает, что расстояние между \( x \) и -2 должно быть не более 3. Это приводит к интервалу от \( x = -5 \) до \( x = 1 \).

4) \( |x+3| > 2 \)

Это неравенство означает, что расстояние между \( x \) и -3 должно быть больше 2. Это приводит к интервалам \( x < -5 \) или \( x > -1 \).

5) \( |x-4| \geq 3 \)

Это неравенство означает, что расстояние между \( x \) и 4 должно быть больше или равно 3. Это приводит к интервалам \( x \leq 1 \) и \( x \geq 7 \).

6) \( |x+2| \geq 0 \)

Это неравенство также верно для любого значения \( x \), так как абсолютное значение всегда неотрицательно.

Итак, объединение всех интервалов из полученных решений даст нам общее множество значений \( x \), которые удовлетворяют данным неравенствам. Это будет объединение интервалов из пунктов 1, 2, 3, 4, 5 и 6.