Question

Сумма 1928 натуральных чисел равна 2016, а произведение - 1001. Найдите эти числа. В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из этих чисел.

Answer 1

Число 1001 разложим на простые множители

7 * 11 * 13 = 1001

Отсюда имеем 4 варианта

1)  7 * 11 * 13 = 1001

2)  7 * 143 = 1001

3)  11 * 91 = 1 001

4)  13 * 77 = 1001

1) Рассмотрим случай   7 * 11 * 13 = 1001

 Это значит, что известны три слагаемых 7;  11;  13.

Всего слагаемых 1928.

1928 – 3 = 1925 - это количество остальных слагаемых.

Чтобы произведение всех слагаемых  было равно 1001, значит, каждое из остальных  – единицы, т.е. 1925 единиц в сумме.

Проверим сумму:

7 + 11 + 13 + 1925 = 1956 ≠ 2016 

 2) Рассмотрим случай   7 * 143 = 1001

 Это значит, что известны два слагаемых 7;  143.

Всего слагаемых 1928.

1928 – 2 = 1926 - это количество остальных слагаемых.

Чтобы произведение всех слагаемых  было равно 1001, значит, каждое из остальных  – единицы, т.е. 1926 единиц в сумме.

Проверим сумму:

7 + 143 + 1926 = 2076 ≠ 2016

3) Рассмотрим случай   11 * 91 = 1001

 Это значит, что известны два слагаемых  11;  91.

Всего слагаемых 1928.

1928 – 2 = 1926 - это количество остальных слагаемых.

Чтобы произведение всех слагаемых  было равно 1001, значит, каждое из остальных  – единицы, т.е. 1926 единиц в сумме.

Проверим сумму:

11 + 91 + 1926 = 2028 ≠ 2016  

4) Рассмотрим случай   13 * 77 = 1001

 Это значит, что известны два слагаемых  13;  77.

Всего слагаемых 1928.

1928 – 2 = 1926 - это количество остальных слагаемых.

Чтобы произведение всех слагаемых  было равно 1001, значит, каждое из остальных  – единицы, т.е. 1926 единиц в сумме.

Проверим сумму:

13 + 77 + 1926 = 2016  - удовлетворяет условию!

1 – наименьшее слагаемое.

77 – наибольшее слагаемое.

1 + 77 = 78  - искомая сумма.

Ответ: 78.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать алгебраический подход. Давайте обозначим неизвестные числа как x1, x2, ..., xn. Зная, что сумма 1928 натуральных чисел равна 2016 и произведение равно 1001, мы можем записать следующие уравнения:

x1 + x2 + ... + xn = 2016 (уравнение 1) x1 * x2 * ... * xn = 1001 (уравнение 2)

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения этих чисел. Так как нам нужно найти сумму наибольшего и наименьшего чисел, нам понадобится найти наибольшее и наименьшее из этих чисел.

Для начала, давайте рассмотрим уравнение 2. Произведение всех чисел равно 1001, что означает, что 1001 должно быть делителем 1928 чисел. Разложим число 1001 на простые множители:

1001 = 7 * 11 * 13

Теперь мы знаем, что каждое из чисел x1, x2, ..., xn должно быть одним из простых множителей 1001. Поскольку нам нужно найти наименьшее и наибольшее число, мы можем выбрать x1 = 7, xn = 13.

Теперь давайте рассмотрим уравнение 1. Сумма всех чисел равна 2016. Мы уже выбрали два числа (7 и 13), поэтому остается найти значение n и сумму оставшихся чисел.

2016 - (7 + 13) = 1996

Теперь у нас есть уравнение:

x3 + x4 + ... + xn-1 = 1996 (уравнение 3)

Заметим, что каждое число xi должно быть больше или равно 7 и меньше или равно 13. Поскольку нам нужно найти наименьшую сумму, мы можем выбрать все оставшиеся числа равными 7:

1996 / 7 = 284

Теперь мы знаем, что n - 3 (потому что у нас уже есть три числа: x1, x2 и xn), и что каждое из оставшихся чисел равно 7. Таким образом, сумма наибольшего и наименьшего чисел будет:

7 + 7 + 13 = 27

Таким образом, сумма наибольшего и наименьшего из этих чисел равна 27.