Question

Учитель отбирает каждый раз случайно одного ученика для проверки подготовки домашнего задания. Какова вероятность того, что за шесть дней недели им будет выставлено четыре положительные оценки, если из 18 учеников всегда 6 полностью не сделали домашнее задание?

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Всего - n = 18, нужных - m = 12
Вероятность "+" - p = 12/18 = 2/3,  q = 1 - p = 1/3.
Формула полной вероятности для шести испытаний.
Р = (p+q)⁶ = p⁶+6*p⁵*q+     15*p⁴*q²      +20*p³*q³+15*p²*q⁴+6*p*q⁵+q⁶
Для шести испытаний и 4 "+" -
Р(4/2) = 15*p⁴*q² = 15* 2⁴/3⁶ = 15*16/729 = 80/243  ≈ 0.329 ≈ 32.9% - ответ
Это расчет для случая "Ровно 4 "+" и 2 "-". Но можно добавить и 5 и даже 6 "+".

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть 18 учеников, и каждый день учитель случайным образом выбирает одного из них для проверки домашнего задания. Известно, что 6 учеников не выполнили домашнее задание.

Теперь мы хотим узнать вероятность того, что за шесть дней недели у четырех учеников будет положительная оценка.

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (выбор каждого ученика в отдельный день), и мы хотим узнать вероятность определенного числа успехов (получение положительной оценки) за фиксированное число испытаний.

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где: - \( n \) - общее число испытаний (в данном случае, дней недели), - \( k \) - число успехов (в данном случае, положительных оценок), - \( C(n, k) \) - число сочетаний из \( n \) по \( k \), - \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (в данном случае, получение положительной оценки), - \( (1 - p) \) - вероятность неудачи в одном испытании.

В данном случае: - \( n = 6 \) (6 дней недели), - \( k = 4 \) (четыре положительные оценки), - \( p \) - вероятность получения положительной оценки.

Так как у нас 18 учеников, и 6 из них не сделали домашнее задание, вероятность получения положительной оценки для каждого из оставшихся 12 учеников равна \( \frac{{12}}{{18}} \).

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot \left(\frac{{12}}{{18}}\right)^4 \cdot \left(1 - \frac{{12}}{{18}}\right)^{6 - 4} \]

Вычислим числа сочетаний и вероятности:

\[ C(6, 4) = \frac{{6!}}{{4! \cdot (6-4)!}} = 15 \]

\[ \left(\frac{{12}}{{18}}\right)^4 \approx 0.1975 \]

\[ \left(1 - \frac{{12}}{{18}}\right)^{6 - 4} \approx 0.453 \]

Теперь умножим все значения:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot 0.1975 \cdot 0.453 \approx 1.347 \]

Таким образом, вероятность того, что за шесть дней недели у четырех учеников будет положительная оценка, составляет примерно 1.35%.