Question

В классе 37 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?

Answer 1

Построим пример для 11 девочек. Первая девочка дружит с нулем мальчиков, вторая девочка дружит с одним мальчиком, третья – с двумя мальчиками и так далее. Тогда одиннадцатая девочка дружит с 10 мальчиками. Докажем, что больше 11 девочек быть не может. Если в классе больше 11 девочек, то там меньше 10 мальчиков. А девочек больше 11.))))

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты. Предположим, что в классе есть x девочек. Так как никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков, каждая девочка дружит с уникальным количеством мальчиков.

В худшем случае каждая девочка может дружить с 0, 1, 2, ..., (x-1) мальчиками. Это создаст следующую сумму:

\[0 + 1 + 2 + \ldots + (x-1) = \frac{x \cdot (x-1)}{2}.\]

Согласно условию задачи, эта сумма не может быть равна 37 (общее количество человек в классе), так как каждая девочка дружит с уникальным количеством мальчиков.

Таким образом, нам нужно найти максимальное x, при котором \(\frac{x \cdot (x-1)}{2} < 37\). Решим это неравенство:

\[x \cdot (x-1) < 74.\]

Рассмотрим x = 9. Тогда \(9 \cdot 8 = 72\), что меньше 74. Однако, если x = 10, то \(10 \cdot 9 = 90\), что больше 74. Таким образом, максимальное количество девочек в классе равно 9.

Итак, в классе может быть наибольшее количество девочек, равное 9.