Question

Найти интеграл:( 16-х^2)^dx

Answer 1

Решение. Нужно сделать замену x=4sint ; dx=4costdt ; t=arcsin(x/4) ;
∫dx/(√16-x²)³= ∫4costdt/((√16-16sin²t)³= ∫4costdt/(4cost)³=
(1/16) ∫dt/cos²t=(1/16)tgt+C=(1/16)tg(arcsin(x/4)+C=
(1/16)tg(arctg(x/(√16-x²))+C=(1/16)(x/(√16-x²)+C.

Answer 2

Для нахождения интеграла функции $(16-x^2)$, мы можем использовать метод интегрирования по частям или применить замену переменной. В данном случае, более удобным способом будет использование замены переменной.

Замена переменной:

Пусть $u = 16 - x^2$, тогда $du = -2x dx$.

Мы можем переписать исходный интеграл в терминах новой переменной: $$\int (16 - x^2) dx = -\frac{1}{2} \int u du$$

Вычисление интеграла:

Теперь мы можем интегрировать выражение $-\frac{1}{2} \int u du$: $$-\frac{1}{2} \int u du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{2} + C$$

где $C$ - произвольная постоянная.

Подстановка обратной замены:

Вернемся к исходной переменной $x$: $$-\frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{2} + C = -\frac{1}{4} (16 - x^2)^2 + C$$

Таким образом, интеграл функции $(16 - x^2)$ равен $-\frac{1}{4} (16 - x^2)^2 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.