Question

Найдите значение производной функции y=g(x) в точке x0: 1) g(x)=√x-9x², x0=1 2) g(x)=8√x+1/x, x0=16

Answer 1

$1)\; \; g(x)=\sqrt{x}-9x^2\; \; ,\; \; x_0=1\\\\g'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}} -18x\\\\g'(1)= \frac{1}{2} -18=-17\frac{1}{2}=-17,5\\\\2)\; \; g(x)= \frac{8\sqrt{x}+1}{x}\; \; ,\; \; x_0=16\\\\g'(x)=\frac{\frac{8}{2\sqrt{x}}\cdot x-(8\sqrt{x}+1)}{x^2} =\frac{4\sqrt{x}-8\sqrt{x}-1}{x^2}=\frac{-4\sqrt{x}-1}{x^2} \\\\g'(16)=\frac{-4\cdot 4-1}{16^2} = -\frac{17}{256}$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим оба случая.

1. Функция: \( g(x) = \sqrt{x} - 9x^2 \) Точка: \( x_0 = 1 \)

Для нахождения производной \( g'(x) \) в точке \( x_0 = 1 \), нужно взять производную функции \( g(x) \) и подставить \( x_0 \):

\[ g'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} - 9x^2) \]

Производная \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), а производная \( -9x^2 \) равна \( -18x \). Теперь мы можем выразить производную \( g'(x) \):

\[ g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 18x \]

Теперь подставим \( x_0 = 1 \):

\[ g'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - 18 \cdot 1 = \frac{1}{2} - 18 = -\frac{35}{2} \]

2. Функция: \( g(x) = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x} \) Точка: \( x_0 = 16 \)

Аналогично, найдем производную \( g'(x) \) и подставим \( x_0 \):

\[ g'(x) = \frac{d}{dx} (8\sqrt{x} + \frac{1}{x}) \]

Производная \( 8\sqrt{x} \) равна \( \frac{4}{\sqrt{x}} \), а производная \( \frac{1}{x} \) равна \( -\frac{1}{x^2} \). Теперь мы можем выразить производную \( g'(x) \):

\[ g'(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \]

Теперь подставим \( x_0 = 16 \):

\[ g'(16) = \frac{4}{\sqrt{16}} - \frac{1}{16^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{256} = \frac{63}{256} \]

Итак, значение производной функции \( g(x) \) в точке \( x_0 = 1 \) равно \( -\frac{35}{2} \), а в точке \( x_0 = 16 \) равно \( \frac{63}{256} \).