Question

Найти предел функции x→бесконечности ((4x+3)/(4x-1))^(2x-3)

Answer 1

Ответ на выбор)) ну , думаю понятно

Answer 2

Чтобы найти предел функции x, когда x стремится к бесконечности, необходимо проанализировать поведение функции при больших значениях x. В данном случае, предел функции можно найти с помощью правила Лопиталя или путем приведения функции к более удобному виду.

Применение правила Лопиталя:

Для применения правила Лопиталя необходимо вычислить производные числителя и знаменателя относительно переменной x и затем вычислить предел отношения этих производных.

Вычислим производную числителя ((4x+3)/(4x-1))^(2x-3): f'(x) = d/dx ((4x+3)/(4x-1))^(2x-3)

Для упрощения вычислений, воспользуемся логарифмическими свойствами и возьмем натуральный логарифм от функции f(x): ln(f(x)) = ln(((4x+3)/(4x-1))^(2x-3))

Продифференцируем обе части по x, используя правило производной сложной функции: (d/dx) ln(f(x)) = (d/dx) (2x-3) * ln((4x+3)/(4x-1))

Упрощая выражение в правой части: (d/dx) ln(f(x)) = 2 * ln((4x+3)/(4x-1))

Теперь продифференцируем знаменатель ((4x+3)/(4x-1)): (d/dx) (4x-1) = 4

Теперь мы можем вычислить предел отношения производных: lim(x→∞) (2 * ln((4x+3)/(4x-1))) / 4

Раскроем логарифмическое выражение: lim(x→∞) (ln((4x+3)/(4x-1))) / 2

Теперь можно применить правило Лопиталя снова, продифференцировав числитель и знаменатель: lim(x→∞) ((4/(4x-1)) - (-4/(4x+3))) / 2

Упростим выражение: lim(x→∞) (8/(16x-4)) / 2

Выполним деление: lim(x→∞) 4/(16x-4)

Теперь, когда x стремится к бесконечности, заметим, что знаменатель становится очень большим, а числитель остается постоянным. Это означает, что предел равен 0. Таким образом, предел функции ((4x+3)/(4x-1))^(2x-3) при x, стремящемся к бесконечности, равен 0.

Альтернативный подход:

Мы также можем привести функцию к более удобному виду, чтобы найти предел.

Выполним преобразование функции с помощью натурального логарифма: ln(((4x+3)/(4x-1))^(2x-3))

Применим свойства логарифма: (2x-3) * ln((4x+3)/(4x-1))

Теперь мы можем использовать правило произведения пределов и предела степени: lim(x→∞) (2x-3) * lim(x→∞) ln((4x+3)/(4x-1))

Предел степени равен 1: lim(x→∞) (2x-3) * 1

Выполним умножение: lim(x→∞) 2x - 3

Когда x стремится к бесконечности, выражение 2x становится бесконечным, а -3 остается постоянным. Это означает, что предел равен бесконечности. Таким образом, предел функции ((4x+3)/(4x-1))^(2x-3) при x, стремящемся к бесконечности, равен бесконечности.