Question

Помогите пожалуйста!!!!!! Срочно!!!!! Шар и цилиндр имеют равные объемы. Диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара 2 стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5. На него сверху положили 2 ложки мороженого в виде полушарий диаметр 5 см переполнит их мороженое стаканчик, если оно растает

Answer 1

1. Объём шара $V_1=\frac{\pi d^3}6$

Объём цилиндра $V_2=\pi\frac{d^2}4h$

Объёмы равны, то есть

$\frac{\pi d^3}6=\pi\frac{d^2}4h\\h=\frac{\pi d^3}6\cdot\frac4{\pi d^2}=\frac{2d}3$

2. Объём конуса $V_1=\frac12\cdot\frac{\pi d^2}4h=\frac{\pi d^2h}8=\frac{25\cdot12}8\pi=37,5\pi$

Два полушария мороженого в сумме дают объём шара с диаметром 5 см. Его объём $V_2=\frac{\pi d^3}6=\frac{125}6\pi=20\frac56\pi$

Не переполнит, т.к. объём меньше.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

1. Пусть \( r \) - радиус шара, \( R \) - радиус основания цилиндра, и \( h \) - высота цилиндра.

2. Объем шара \( V_{\text{шара}} \) равен объему цилиндра \( V_{\text{цилиндра}} \). Объем шара выражается формулой \( \frac{4}{3}\pi r^3 \), а объем цилиндра - \( \pi R^2h \). Условие задачи гласит, что объемы равны, поэтому уравнение будет:

\[ \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi R^2h \]

3. Также, по условию, диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, что означает, что радиусы равны: \( r = R \).

4. Подставим \( r = R \) в уравнение:

\[ \frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2h \]

5. Теперь упростим уравнение, деля обе стороны на \( \pi R^2 \):

\[ \frac{4}{3} R = h \]

6. Таким образом, высота цилиндра выражается через радиус шара:

\[ h = \frac{4}{3} R \]

7. Теперь, по второй части задачи о стаканчике для мороженого конической формы. Объем конуса \( V_{\text{конуса}} \) равен сумме объемов двух полусфер, положенных сверху:

\[ V_{\text{конуса}} = V_{\text{полусферии1}} + V_{\text{полусферии2}} \]

8. Объем полусферы равен \( \frac{2}{3}\pi r^3 \). Положим две полусферы диаметром 5 см сверху, где \( r = \frac{5}{2} \) (половина диаметра). Тогда объем конуса будет:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{5}{2}\right)^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{5}{2}\right)^3 \]

9. Теперь, объем конуса равен объему стаканчика:

\[ V_{\text{конуса}} = \pi R^2h_{\text{конуса}} \]

10. Подставим значение \( h_{\text{конуса}} = 12 \) и найдем \( R \):

\[ \frac{2}{3}\pi \left(\frac{5}{2}\right)^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \pi R^2 \cdot 12 \]

11. Решим уравнение относительно \( R \).

\[ \frac{2}{3}\pi \left(\frac{5}{2}\right)^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{5}{2}\right)^3 = 12 \pi R^2 \]

\[ \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{125}{8} + \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{125}{8} = 12 \pi R^2 \]

\[ \frac{250}{3}\pi = 12 \pi R^2 \]

\[ R^2 = \frac{250}{36} \]

\[ R = \frac{5}{3} \]

Таким образом, радиус цилиндра \( R = \frac{5}{3} \), и высота цилиндра \( h = \frac{4}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{20}{9} \).