Question

в правильной 4-х угольной пирамиды боковое ребро образует с плоскостью основание угол60. высота пирамиды равна 10. найдите площадь поверхности пирамиды!

Answer 1

SABCD - прав. пирамида. ABCD- квадрат. О - точка пересеч. диагоналей квадрата. SО - высота пирамиды. Угол SAO=60град.

Проведем высоту боковой грани SK  и отрезок АК, равный половине стороны квадрата. 

Пусть х - сторона основания. Тогда АО из равнобедр. прям. тр-ка AОD:

АО = (хкор2)/2.

Далее из прям. тр-ка АSO:  SO=AO*tg60, или (хкор6)/2 = 10. Отсюда:

х = (10кор6)/3.  Тогда отрезок КО = х/2 = (5кор6)/3. И из прям. тр-ка SОК найдем высоту боковой грани SK:

SK = кор(SO^2 + KO^2) = кор(100 + (50/3)) = (5кор42)/3.

Теперь можно найти площадь полной поверхности пирамиды:

S = Sосн + 4Sбок.грани = х^2 + 4*(1/2)*x*SK = 200/3   +   (200кор7)/3 = 200(1 + кор7)/3.

 

Ответ: 200(1+кор7)/3

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся некоторые свойства правильной четырехугольной пирамиды.

1. В правильной четырехугольной пирамиде все боковые ребра равны. 2. В правильной четырехугольной пирамиде все боковые грани равны и равны основанию. 3. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Из условия задачи известно, что высота пирамиды равна 10. Пусть длина бокового ребра равна а. Тогда, с помощью теоремы Пифагора, можем найти длину одной из сторон основания:

(а/2)^2 + 10^2 = а^2 а^2/4 + 100 = а^2 а^2 - 4а^2/4 = 400 3а^2/4 = 400 3а^2 = 1600 а^2 = 1600/3 а ≈ 20

Теперь, чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности.

Площадь основания: Поскольку пирамида правильная и у неё четырехугольное основание, то площадь основания равна площади равностороннего треугольника со стороной а: S_осн = (а^2 * sqrt(3))/4

Площадь боковой поверхности: Поскольку боковые грани пирамиды равны и равны основанию, то площадь боковой поверхности равна площади одной из боковых граней: S_бок = (а * h)/2

где h - высота боковой грани пирамиды. Из условия задачи известно, что угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов. Тогда, с помощью тригонометрии, можно найти высоту боковой грани:

h = а * sin(60) = а * sqrt(3)/2

Подставляем найденные значения в формулы:

S_осн = (20^2 * sqrt(3))/4 = 100 * sqrt(3) S_бок = (20 * (20 * sqrt(3)/2))/2 = 200 * sqrt(3)/2 = 100 * sqrt(3)

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

S = S_осн + S_бок = 100 * sqrt(3) + 100 * sqrt(3) = 200 * sqrt(3)

Ответ: площадь поверхности пирамиды равна 200 * sqrt(3).